14.1平面及其基本性质

平面的表示法、平面的特征：1伸在空间可以任意无限延度、宽窄，“平”，没有大小、厚、平面的表示法：2M1表示平面用一个大写字母)(M表示平面用希腊字母)(2的相对顶点个点或多边形用平面上三)(3ABCDABCACABCD或平面平面一个平面把空间分成部分.3、一条直线把平面分成两部分.两NMM2、平面竖直放置3、一个平面的部分被另一个平面遮住N相交平面画法：αβ画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画αββα点、线、面的基本位置关系1、符号表示：)(),(也是点的集合平面是点的集合，直线点aP2、集合关系：点线关系：)(1aaPP上：在直线点aaPP上：不在直线点点面关系：)(2PP上：在平面点PP上：不在平面点AaAaAA线面关系：)(3公理1.αlABlBAlBlA,,,且图形语言：符号语言：上。在平面上，那么直线上有两个点在平面如果直线ll桌面αAB线面关系：)(3aa上：在平面直线aa上：不在平面直线Aaa：相交于点与平面直线A1)(aaA//)(aaa或平行：与平面直线2a1、判定一条直线是否在平面内.方法是：确定直线上有两点在平面上。2、判定一点是否在平面内.方法是：若直线在平面内、点在直线上，则点在平面内。MBA:,求证的中点，是线段，例：已知ABMABBA，,MABM公理2.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。PαβaP面面关系：)(4图形语言：符号语言：lPlPP且且面面关系：)(4aa：相交于直线与平面平面//或平行：与平面平面1、判定两个平面相交。方法是：若两个平面有一个公共点，则这两个平面相交。2、判定点在直线上。方法是：点若是两个平面的公共点，则该点就在这两个平面的交线上。例1.将下列符号语言转化为图形语言：ABAlBl（1）ab//acbcpc（2）说明：画图的顺序:先画大件(平面),再画小件(点、线),,,,,,,公理3.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.αACB观察下列问题，你能得到什么结论_？BCA公理3是确定平面的依据。推论1.唯一确定一个平面一条直线和直线外一点定一个平面唯一确，，可知，两点，由公理，上任取外的一点，在直线是直线证明：设CBA3CBllAllCB、又唯一确定平面和点直线AlA2l1l已知：12llA求证：12,ll直线确定一个平面证明：1,Bl取点2.Cl,,ABC确定平面AB、1lCBAC、2l12.ll直线和确定一个平面1l2l推论2.定一个平面两条相交的直线唯一确推论3.定一个平面两条平行的直线唯一确α.平面α，则a直线a，点A（3）若点A条直线确定一个平面。（2）经过同一点的三三点确定一个平面。（1）：判断下列命题是否正确例:经过（×）（×）（×）三条直线相交于一点,用其中的两条确定平面,最多可以确定3个。(1)3条直线共面时(2)每2条直线确定一平面时4条直线相交于一点时：三条直线相交于一点,用其中的两条确定平面,最多可以确定6个。(1)4条直线全共面时(2)有3条直线共面时(3)每2条直线都确定一平面时例：已知空间四点中，无三点共线，则可确定A．一个平面B．四个平面C．一个或四个平面D．无法确定平面的个数vvvv例：三条直线两两平行但不共面，则可确定几个平面个3例、(1)两个平面的公共点的个数可能有......()(2)三个平面两两相交,则它们交线的条数……()(A)0(B)1(C)2(D)０或无数(A)最多4条最少3条(B)最多3条最少1条(C)最多3条最少2条(D)最多2条最少1条DB（2）（4）（5）2个平面分空间有两种情况：两个平面把空间分成3或4个部分。(1)两平面没有公共点时(2)两平面有公共点时（2）（1）（3）（4）（5）3个平面把空间分成个部分。4，6，7或8在同一平面上直线求证点，两两相交，且三线不共例：已知直线321321llllll,,:,,1lA2l3lBCCllBllAll313221,,设三点唯一确定平面CBA,,22llBA,11llCA,33llCB,共面321lll,,在这个平面上或线证明点然后再用公里，或推论先确定一个平面归一法：先根据公里)(13共面与直线求证都相交，与三条平行直线例：已知直线cbalcbal,,:,,ClcBlbAla,,如图设确定平面baba,//BAbBaA,,laAblBcC确定平面cbcb,//l:同理可证bl,,均过相交直线共面重合，lcba,,,,然后再证重合分别确定平面，同一法：先根据条件先在同一平面上直线求证练习：已知直线212121lllBllAllll,,:,,,//1lA2llB唯一确定平面2121llll,//BAlBlA,,21llBA,共面直线21lll,,在同一平面上直线直线，求证四条是两两相交且不共点的练习：已知直线43214321llllllll,,,:,,,无三线共点，如图：简单分析：)(1可确定一个平面21ll,34ll,ABCK三线共点，如图：)(21lA2l3lBC4lDEF确定平面和44lKlKFBCAM于延长交法一：连接BACM上在平面，求证：顶点的任意一点，且上内不在是，且的边例：已知AMBCABCMBCABCFFBCBCFMFMAA法二：确定的平面为，，设CBAMABC内在M三个公共点，，有CBM,重合，三点不共线，，CBMAABC平面P例、已知△ABC在平面α外，它的的三条边所在直线分别交平面α于P、Q、R求证：P、Q、R共线BAQRCP证明：ABC平面ABP的交线上与平面在ABCPP所以P、Q、R共线要证明各点共线,只要证明它们是两个平面的公共点的交线上与平面也在，同理ABCRQ共线，，求证点，交于与上，且，，分别在，，中，例：在正方体CBOOQRDPCCBBABRQPDCBA-ABCD111111:ABCD1A1B1D1COQRP只要证明O在平面ABCD与平面BCC1B1的交线BC上ABCDPDABCD平面平面DP,ABCDOPD平面O11BBCCO平面同理BCO交线不共线，，求证，平面又不共面，直线例：已知直线CBAA:,,,,,CcBbaNcbMacba反证法：abcMNABC，三点共线于直线，，若lCBAlCBA,,确定平面clClc,BA,NMlNM,,BNAM,共面，矛盾即直线ba,三点不共线CBA,,这些交线交于一点求证平行，于三条直线，若交线不例：三个平面两两相交:1l2l3l231lll,,如图：设不平行且2121llll,,,Pllll2121相交，设与P321lPll,三线共点，，求证，交于点与上的点，已知，，，分别是，，，中，例：空间四边形ACHGEFQHGEFDACDBCABHGFEABCD:ABCDEFGHQ只要证明Q在AC上ABCQABC平面平面直线EFEFQ,ACDQ平面同理上的交线与平面在平面ACABCACDQ数学运用画出由A1，C1，P三点所确定的平面α与长方体表面所在平面的交线。数学运用如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l，（1）画出l的位置；（2）设l∩A1B1＝P，求PB1的长.正方体中，试画出过其中三条棱的中点P,Q,R的平面截得正方体的截面形状．思考