弹性力学课件：第八章复变函数解

第六章平面问题——的复变函数解弹性力学解法的限制边界条件的描述和表达多连域变形单值连续条件应用复变函数数学基础目录§6.10应力函数的复变函数形式§6.11应力与位移的K-M函数表示§6.12多连域应力与位移单值条件§6.13保角变换§6.14孔口问题应力函数可以用两个解析函数表示§6.10应力函数的复变函数形式古尔萨（Goursat）公式应力解法)()()()(),(2ffzzzzzzzzU或者)]()(Re[),(fzzzzzUf(z)和(z)均为单值解析函数。克罗索夫－穆斯赫利什维利函数简称K-M函数——应力函数——复变函数描述§6.11应力与位移的K-M函数表示罗克索夫公式应力分量的复变函数表达——f(z)和y(z)表示的应力分量)('Re4])(')('[2fffzzzyx)]()('[2zΨzΦz])()([2zΦzΦ)](')(''[22fzzzixyxyy)('d)(d)(ffzzzzΦzzzΨd)(d)(y引入§6.11应力与位移的K-M函数2•位移的复变函数表达)()(')(13)i(2ffzzzzvvvuGy•已知f(z)和y(z),可以确定位移分量。•对于平面应变问题，只须将弹性模量和泊松比作对应的替换则可。•面力边界条件的复变函数表达K-M函数f(z)和y(z)描述的面力边界条件。sFFzzzzsysxABd)i(i)()(')(ffy边界点的确定函数K-M函数由内向边界趋近值§6.11应力与位移的K-M函数3•位移边界条件的复变函数表达•求解弹性力学平面问题•——给定边界条件下求解双调和方程•变换为在给定的边界条件下寻找解析函数•确定K-M函数f(z)和y(z)，则应力、位移和应变就可以完全确定。)()(')(13)i(2ffzzzzvvvuGy§6.11应力与位移的K-M函数4§6.12多连域应力与位移单值条件)*)ln()ln()(f11fzzzzzAzzmkmkkkkk（mkkkzzzz1')ln()(*)(yy多连域问题——单值函数在多连域可能多值f(z)的单值连续y(z)的单值连续多连域问题，K-M函数出现三个待定常数根据位移单值条件和内边界面力边界条件确定因此，无限大多连域的f(z)和y(z)表达式§6.12多连域20'130kkkvvA)i(π83')i(π81ykxkkykxkkFFvFFv)*)ln()i(π83)()(*)ln()i(π81)(1f1fzzzFFvzzzzFFvzmkkykxkmkkykxk（yy多连域问题，K-M函数f(z)和y(z)具有待定函数f*(z)和y*(z)根据无限大多连域条件。将f*(z)和y*(z)在无穷远展开为罗伦级数根据无穷远应力确定f(z)和y(z)表达式)**ln)i(π83)()**ln)i(π81)(ffzzFFvzzzFFvzyxyx（（yynnnnzbzzaz)*(*)*(*fy)(`)i`(ln)i(π83)()(ln)i(π81)(0f0fzzCBzFFvzzBzzFFvzyxyxyy101f0)*(*)*(*nnnnzbzzazy§6.12多连域3§6.13保角变换保角变换概念无限大多连域单位圆的内部变换的对应关系点－点；线－线§6.13保角变换2无限大多连域——单位圆问题在x平面讨论，必须建立与z平面的联系——曲线坐标rconst和rconst所有的物理量——位移、应力和应变等变换为曲线坐标描述矢量的曲线坐标描述——位移的曲线坐标形式)i(|)('|)('ivuuurxxxr位移的曲线坐标形式])()()(')()(13[|)('|)(')i(2f'fxyxxxxxxrxrvvuuG§6.13保角变换3应力的曲线坐标形式)]()(')(')([)('2i2)(Re422xxxxxrxxrrrΨΦΦ§6.13保角变换4§6.14无限大薄板孔口问题nkkkCRz0)1()(xxx无限大薄板孔口问题双连域——解析函数z=()映射孔口——单位圆f(z)和y(z)的确定f(z)和y(z)的确定)()()'i'(ln)i(π83)()()(ln)i(π81)(0f0fxyxxxyxxxxCBFFBFFyxyxxxxd)(πi21d)(')()('πi21)(00f0ffxxxyd)(πi21d)(')()('πi21)(00f0f§6.14孔口问题2无限大薄板椭圆孔口问题解析函数z=()映射孔口——单位圆§6.14孔口问题3)1()(xxxmRz椭圆孔口的保角变换f(x)和y(x)的确定])e2(1[41)()(ln)i(π81)(i2f0fxxxxxxmpRBFFyx]1)1e(ee1[21)()()'i'(ln)i(π83)(22i2i23i20xxxxxyxxxymmmpRCBFFyx§6.14孔口问题4薄板应力)]()(')(')([)('2i2)(Re422xxxxxrxxrrr]2)1(1ee11ee3e[)(]1e21)e2[()1)(()(2,11)e2(Re4222i22i2222i22i2i242422i22i2242422422i2xxxxxxrxrxxxxrxrxxrxxrrrmmmmmmmmpmmmmmmmpimmp§6.14孔口问题5孔口应力孔口边界x，rr02cos21)(2cos22cos211)2sini2(cos1)2sini2](cos)2sini2cos2[Re22mmmmpmmp（§6.14孔口问题6拉力p平行于x轴=0孔口应力2cos212cos22122mmmmp)21(13|2πmaxabpmmp最大应力pπ,0min|最小应力§6.14孔口问题7椭圆孔口——b→0裂纹裂纹前沿应力不能直接得到f(x)和y(x)映射——z平面建立裂纹前沿局部坐标I型裂纹问题§6.14孔口问题8I型裂纹问题§6.14孔口问题9)23cosi23(sin2cos2sin)(2i22cos)(22121rrapapxyxyyxrrr23cos2cos2sin)(21)23sin2sin1(2cos)(21)23sin2sin1(2cos)(21212121apapapxyyxII型裂纹问题§6.14孔口问题10)23sin2sin1(2cos)(2123sin2cos2sin)(21)23cos2cos2(2sin)(21212121rrrapapapxyyxr→0，ij→∞裂纹前缘，应力无限大。裂纹前缘的塑性区。描述脆性材料裂纹前缘的应力状态。断裂力学的基本公式