《弹性力学》第五章-平面问题的复变函数法

第五章平面问题的复变函数法直角坐标及极坐标求解平面问题，所涉及的物体边界是直线或圆弧形。对于其他一些边界，例如椭圆形、双曲形、非同心圆等就要用不同的曲线坐标。应用复变函数可使该类问题得以简化。本章只限于介绍复变函数方法在弹性力学中的简单应用。§5-4多连通域内应力与位移的单值条件§5-3边界条件的复变函数表示§5-2应力和位移的复变函数表示§5-1应力函数的复变函数表示§5-6含孔口的无限大板问题§5-5无限大多连体的情形第五章平面问题的复变函数法§5-1应力函数的复变函数表示在第二章中已经证明，在平面问题里，如果体力是常量，就一定存在一个应力函数φ，它是位置坐标的重调和函数，即04现在，引入复变数z=x＋iy和z＝x－iy以代替实变数x和y。注意i,1i,1yzxzyzxz可以得到变换式)i()(zzyzzyzzyzzxzzxzzxzyxzyx2i,2i进而222222)(,)(zzyzzxzzyx2222224Pzz224令于是可将方程式04)(0224azz变换成为0)(2224P由02P可知，P是调和函数可由解析函数的实部得到。设f(z)为解析函数，可令))()((21zfzfPPzz224由)])()((21[41412zfzfPzz)('4)(zzf))(')('(212zzzz令得则将上式对积分，得到))()(')('(21zzzzzz再对z积分，得到))(d)()()((21zgzzzzzz)(d)(zzz令)(')(zz即))()()()((21zgzzzzzz则注意上式左边的重调和函数φ是实函数，可见该式右边的四项一定是两两共轭，前两项已经是共轭的，后两项也应是共轭的：)()(zzg令即得有名的古萨公式])()()()([21zzzzzz也可以写成)]()([Rezzz于是可见，在常量体力的平面问题中，应力函数φ总可以用复变数z的两个解析函(z)和(z)来表示，称为K-M函数。而求解各个具体的平面问题，可归结为适当地选择这两个解析函数，并根据边界条件决定其中的任意常数。§5-2应力和位移的复变函数表示根据应力分量和应力函数的关系yxxyxyyx22222一应力分量的复变函数表示可得到应力分量的复变函数表示zzxyyx242222))()()()((21zzzzzz由)('Re4])(')('[2zzzyx可得而由224i2i22222i22zyxyxyxxyxy)]('')(''[2i2zzzxyxy可得)](')(''[2i2zzzxyxy或只要已知(z)及ψ(z)，就可以把上述公式右边的虚部和实部分开，由虚部得出τxy，由实部得出σy-σx。)('Re4])(')('[2zzzyx)](')(''[2i2zzzxyxy和就是应力分量的复变函数表示。当然也可以建立公式，把σx、σy、τxy三者分开用(z)和ψ(z)来表示，但那些公式将比较冗长，用起来很不方便。二位移分量的复变函数表示假定为平面应力问题。由几何方程及物理方程yyxyxxuE)1()(xyxxyyvE)1()(xyyuxvE)()1(22222'')1(])()([2)1(])()([2xzzxxzzxuE可得)i()(zzyzzyzzyzzxzzxzzx由于)(')()(zzzzz并注意到])()([)()(])()([])()([''zzzzzzzzzzzzx])()([)()(])()([])()([i''zzzzzzzzzzzzy同理可得2222'')1(])()([i2)1(])()([2yzzxyzzyvE将上两式分别对x及y积分，得)()1(])()(i[2)()1(])()([221xfyzzEvyfxzzEu其中的f1及f2为任意函数。将上式代入式yxyuxvExy2)()1(2)i()(zzyzzyzzyzzxzzxzzx由于])()([i)()(i])()([i])()([''zzzzzzzzzzzzy])()([i)()(i])()([i])()([i''zzzzzzzzzzzzx)(dd)(dd)1(2)(dd)1(])()([i2)(dd)1(])()([22122212xfxyfyyxxfxyxzzxuyfyyxzzyuxvyuE从而得到xxfyyfd)(dd)(d21于是得到刚体位移f1(y)＝u0－ωy，f2(x)＝v0＋ωx故有若不计刚体位移，则有)i)(1()(4)i(yxzvuEzyx2i由式])()()()([21zzzzzz)()()()(')()(2i''zzzzzzzzzyx得到)()()(13)i(1'zzzzvuE这就是位移分量的复变函数表示。若已知(z)及ψ(z)，就可以将该式右边的实部和虚部分开，从而得出u和v。将结果回代,并两边除以得1上述公式是针对平面应力情况导出的。对于平面应变情况，须将式中的E改换为，改换为。)1/(2E)1/(§5-3边界条件的复变函数表示为了求得边界上各结点处的φ值，须要应用应力边界条件，即：YmlXmlyxyxyxyxxyxyyx22222,,而代入上式，即得：YxmyxlXyxmyl222222由图可见，l=cos(N,x)=dy/ds,m=cos(N,y)=-dx/ds,于是，前式可改写为：YxsxyxsyXyxsxysy222222ddddddddYxsXysdd,dd由此得：设A是边界上的固定点,B为任意一点，则从A到B边界上的合力，可用上式从A点到B点对s积分得到：BABABABAyxyxxysxyssYXPPiiididddii)i()(zzyzzyzzyzzxzzxzzx将式代入，整理得：BAyxzzzzPP])()(')([ii把应力函数加上一个复常数，并不影响应力。因此，可把应力函数A处的值设为零，于是对于边界上的σ有])()(')([iiyxPP)()(')()i(iyxPP或这就是应力边界条件。对于位移边界条件)()()(13)i(1'zzzzvuEssvvuu,将其代入下式即得平面应力情况下位移边界条件的复变函数表示)i(1)()()(13'ssvuEzzzz对于平面应变，须将式中的E改换为，改换为。)1/(2E)1/(§5-4多连通域内应力与位移的单值条件应力确定后，应力函数仍可差一个任意的线性函数，这时K-M函数并未完全确定。对于单连通区域，可以通过选取适当坐标系等办法，使得K-M函数完全确定；但对于多连通区域仍不能完全确定。本节讨论K-M函数在多连通区域内满足单值的条件。设有多连通区域，有一内边界C，设在边界C上的外力矢量已给定。通常的多值函数是对数函数，我们设)()ln()()()ln()(zzzBzzzzAzfkkfkkDC这里zk为内部边界内的任意一点，f和ψf为单值的解析函数（全纯函数），而Ak，Bk为常数：kkkkkkBA'i',i前面的函数的导数是单值的，但他们本身是多值的，当z绕周边一周时，函数值ln(zk)产生一个增量2πi,于是(z)和ψ(z)的增量分别是2πiAk和2πiBk,这时应力主矢量按照公式)]()(')([iizzzzYXBA左边将得到应力主矢量(沿整个边界），右边得到一增量：ykxkkkPPBAi)(2这时位移按照公式)()()(13)i(1'zzzzvuE也将得到增量，根据单值性这个增量应为零：)13(0kkBAykxkkkPPBAi)(2结合可得到)1(2i)1(2iykxkkykxkkPPBkPPA)()ln()1(2i)()()ln()1(2i)(ffzzzPPzzzzPPzkykxkkykxk于是当有m个内边界时，取)()ln()1(2i)()()ln()1(2i)(f1f1zzzPPzzzzPPzmkkykxkmkkykxk§5-5无限大多连体的情形当多连体的外边界趋于无限远时，该多连体成为无限大的多连体，除上述条件外，还需考虑无限远的极限情况。以坐标原点为圆心，作充分大的圆周sR，将所有的内边界包围在其内，对于sR之外，弹性体之内的任意一点，可得到zzzzzzzzzzzkkkkln21ln1lnln)ln(2在sR之外的解析函数)()ln()1(2i)()()ln()1(2i)(f1f1zzzPPzzzzPPzmkkykxkmkkykxk于是)(ln)1(2i)()(ln)1(2i)(f*f*zzPPzzzPPzyxyx可写为其中Px,Py为m个边界上沿x,y方向的面力之和。nnnnzbzzaz)()(f*f*)(21)(12i1)(12i211nnnnyxyxyxzazanzPPzPP于是由于在无穷远处的应力分量应该是有限的，级数中n≥2的系数应为零。)2(0,0naann