选修4-4-1.4-柱坐标系与球坐标系简介

选修4－4坐标系与参数方程第一讲坐标系四.柱坐标系与球坐标系简介1.柱坐标系问题提出1.平面直角坐标系和极坐标系分别是怎样建立的？平面直角坐标系:由两条互相垂直的有向直线建立的；平面极坐标系:由一点引一条射线建立的.2.空间直角坐标系是怎样建立的？由三条两两互相垂直的有向直线建立的.3.通过平面直角坐标系或极坐标系,使得平面上的点可以用直角坐标或极坐标表示,对空间一点,可以用空间直角坐标表示,但在某些实际问题中,用空间直角坐标表示空间点的位置并不方便,因此,我们还需要建立新的空间坐标系来解决这些问题.思考1:有一个圆形体育场,自正东方向起,按逆时针方向等分为十二个扇形区域,顺次记为一区,二区……十二区,那么每个座位票是如何设定的？第几区,第几排,第几座.探究(一):柱坐标系思考2:设体育场第一排与体育场中心O的距离为300m,前后相邻两排的间距都为1m,每层看台的高度为0.6m,那么第九区第三排正中的位置A与体育场中心O的水平距离为多少m？从正东方向到位置A的水平旋转角是多少？位置A距地面的高度为多少m？302m,,1.8m1712探究(一):柱坐标系思考3:根据坐标思想,可以用数组(302,,1.8)表示点A的准确位置,那么这个空间坐标系是如何建立的？1712xOz在水平面内建立极坐标系Ox,过极点O作水平面的垂线Oz.探究(一):柱坐标系θρPxOz思考4:上述所建立的坐标系叫做柱坐标系,对于空间一点P,点P的柱坐标如何表示？Qz设点P在水平面上的射影为Q,点Q的极坐标为(ρ,θ),点Q与点P的有向距离为z,则有序数组(ρ,θ,z)为点P的柱坐标.探究(一):柱坐标系思考5:为了表示方便,柱坐标(ρ,θ,z)中三个坐标分量的取值范围分别如何约定为宜？θρPxOzQzρ≥0,θ∈[0,2π),z∈R.探究(一):柱坐标系思考6:若按如图所示建立空间直角坐标系和柱坐标系,那么点P的直角坐标(x,y,z)和柱坐标(ρ,θ,z)之间的互化公式是什么？PθρyOQzzxx＝ρcosθ,y＝ρsinθ,z＝z.探究(一):柱坐标系思考7:给定一个底面半径为r,高为h的圆柱,建立柱坐标系,如何利用柱坐标描述圆柱的侧面？PyOzxQρ＝r,θ∈[0,2π),z∈[0,h].探究(一):柱坐标系2.球坐标系北极南极赤道地轴P子午线o南极赤道P地轴北极o探究(二):球坐标系思考1:地球上一点P的经度和纬度分别是什么概念？对地球表面上一点的位置,一般用哪种方式来确定？经度:过点P从北极到南极的半圆面与子午面所成的二面角的平面角；纬度:过点P的球半径与赤道平面所成的角.对地球表面上一点的位置一般用经度和纬度来确定.航天器到地表面的距离,航天器所处位置的经度和纬度.思考2:要确定航天器在天空中某一时刻的位置,可通过哪些数据来确定？思考3:设航天器到地表面的距离为r,航天器所处位置的经度为θ,纬度为φ,如何建立空间坐标系,才能方便得出r,θ,φ的值？QOzxrθφ在赤道平面上,取地球球心为极点,以与零子午线相交的球半径所在射线Ox为一条极轴,再以经过北极的球半径所在射线Oz为另一条极轴.P思考4:上述坐标系称为球坐标系或空间极坐标系,因为极角是极径与极轴所成的角,那么航天器的纬度角φ可换成哪个角来反映？PQOzxrθφφ射线OP与Oz轴正向所夹的角为φ.r≥0,φ∈[0,π],θ∈[0,2π).PQOzxrθφ(r,φ,θ)思考5:一般地,在球坐标系中,对空间任意一点P,设|OP|＝r,射线OP与Oz轴正向所夹的角为φ,Ox轴按逆时针方向旋转到OP在水平面上的射影OQ所转过的最小正角为θ,则点P的位置可以用有序数组(r,φ,θ)表示,该有序数组叫做点P的球坐标,其中三个坐标分量的取值范围分别是什么？思考6:若按如图所示建立空间直角坐标系和球坐标系,那么点P的直角坐标(x,y,z)和球坐标(r,φ,θ)之间的互化公式是什么？PQOzxrθφyx＝rsinφcosθ,y＝rsinφsinθ,z＝rcosφ.思考7:利用空间直角坐标系,柱坐标系或球坐标系,研究空间图形的几何特征时,应如何根据问题的特点选择坐标系？涉及三个距离用空间直角坐标系；涉及两个距离和一个角用柱坐标系；涉及一个距离和两个角用球坐标系.理论迁移例在长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝1,AD＝,BB1＝2,在如图所示的坐标系中,分别写出顶点B1,C1的直角坐标,柱坐标和球坐标.3A1B1C1ABCD1Dxyz小结作业1.柱坐标系是由平面极坐标系和空间直角坐标系中的一部分建立起来的,所以柱坐标系又叫半极坐标系,其中柱坐标(ρ,θ,z)的前两个坐标分量就是平面极坐标,后一个坐标分量就是空间直角坐标系中的竖坐标.2.球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应用,在测量实践中,角θ称为被测点P(r,φ,θ)的方位角,90°－φ称为高低角.3.坐标系是联系数与形的桥梁,利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化.但不同的坐标系有不同的特点,在实际应用时,要根据问题的特点选择适当的坐标系,使研究过程方便、简捷.