第四章-线性方程组

高等代数第四章线性方程组第1页共8页第四章线性方程组§4.1n维向量定义1设F是一个数域,12,,,naaaL是F中的数,由12,,,naaaL组成的有序数组(12,,,naaaL)称为数域F上的一个n维行向量,ia称为它的分量.如果把这n个数依次排成一列12naaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠M,就称为F上的n维列向量。.向量一般用希腊小写字母,,αβL表示.定义2如果n维向量()()TT1212,,,,,,,nnaaabbbαβ==LL的对应分量都相等,即(1,2,,)iiabin==L,就称这两个向量是相等的,记作αβ=.定义3设()()TT1212,,,,,,,nnaaabbbαβ==LL为数域F上的n维向量,定义加法(减法)()()T1122T1122,,,,,,,nnnnababababababαβαβ+=+++−=−−−LL数量乘法()T12,,,,nkkakakakα⋅=⋅⋅⋅∈LF定义4分量全为零的向量称为零向量,记为0;向量()T12,,,naaa−−−L称为向量()T12,,,naaaa=L的负向量,记为α−.运算规则()1;αββα+=+()2()();αβγαβγ++=++(3)0;αα+=高等代数讲义第2页共8页(4)()0;(5)1;(6)(),;(7)();(8)()().kkkkFklklklklαααααβαβααααα+−=⋅=+=+∈+=+=§4.2向量组的线性相关性一、线性组合定义1向量α称为向量组12,,rβββL的一个线性组合,如果有数域F上的一组数1,,,rkkkL,使得1122rrkkkαααα=+++L.也称作向量α可由向量组12,,rβββL线性表出.例1零向量0是任意向量组的线性组合(只要取系数全为0即可).例2任一个n维向量12(,,,)naaaα=L都可表示为向量组12100010,,,001nεεε⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠LLMMM的一个线性组合.向量组12,,,nεεεL称为n维单位向量.定义2对于两个向量组112(),,sVαααL与212t(V),,,βββL,若向量组1()V中的每个向量(1,2,)iisα=L都可由向量组2()V线性表出,那么向量组1()V就称为可由向量组2()V线性表出;如果两个向量组互相可以线性表出,这两个向量组就称为等价的.向量组的线性组合具有传递性：命题1如果向量组212t(V),,,βββL可由向量组112(),,sVαααL线性表出,向量组312(),,,mVγγγL可由2()V线性表出,那么3()V可由1()V线性表出.由线性组合的传递性立即得到向量组等价关系的传递性.推论如果向量组2()V与1()V等价,3()V与2()V等价,则3()V与1()V等价.高等代数第四章线性方程组第3页共8页二、线性相关与线性无关定义3对于数域F上的n维向量组12,,,(1)ssααα≥L,如果存在F中的不全为零的数12,,,skkkL,使11220sskkkααα+++=L则称向量组12{,,,}sαααL线性相关.注：（1）由一个向量组成的向量组1{}α线性相关的充分必要条件是10α=;（2）含有零向量的向量组也都线性相关.向量组线性相关的定义还有另一种表述:定义3’设2s≥,如果向量组12{,,,}sαααL中有一个向量可由其余的向量线性表出,则向量组是线性相关的.命题2当2s≥时,定义3与定义3’等价.命题4.2-3向量组12,,,sαααL线性相关当且仅当其中某个向量iα可由它前面的向量()jjiα线性表出.定义4若一向量组12,,,sαααL(1)s≥不线性相关,即不存在一组不全为零的数1,,skkL，使11220sskkkααα+++=L就称向量组为线性无关.或等价地说:由11220sskkkααα+++=L可以推出120skkk====L.例3n维单位向量12,,,nεεεL组成的向量组是线性无关的,命题3（部分相关，则整体相关；整体无关则任意部分都无关）如果一个向量组12,,,sαααL包含一个部分组12,,,kiiiαααL线性相关,则整个向量组12,,,sαααL线性相关;如果向量组12,,,sαααL线性无关,那么它的每个部分组都线性无关.例4（1）设α1,α2,α3线性无关，证明α1+α2,α2+α3,α1+α3线性无关。（2）证明向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α1+α4线性相关。例5如果β可由α1,α2,…，αs线性表示，且表示法唯一，证明：α1,α2,…，αs线性无关。高等代数讲义第4页共8页例6设向量组α1,α2,…，αs线性相关；α2,…，αs，αs+1线性无关，问：（1）α1能否由α2,…αs线性表示；（2）αs+1能否由α1，，α2,…，αs线性表示.§4.3向量组的秩一、向量组的极大线性无关组定义1对于一个向量组(可能只有有限个向量,也可能有无限多个向量),如果在这组向量中存在一部分向量组12,,,sαααL,满足下列条件:(1)12,,,sαααL线性无关;(2)在这组向量中任意取出一个向量α添加到12,,,sαααL,则12,,,sαααL,α必线性相关.那么称12,,,sαααL是这个向量组的一个极大线性无关组,简称极大无关组.如果一个向量组是线性无关的,则这个向量组的极大线性无关组就是这个向量组自身.命题1设12,,,sαααL是由非零向量组成的向量组,如果其中的每个向量(2)iisα≤≤都不是它前面的向量的线性组合,则12,,,sαααL线性无关.以下给出极大线性无关组的一个基本性质:命题2任意一个极大线性无关组与向量组本身等价.引理1设1,,rααL与1,,sββL是两个向量组.如果(1)向量组1,,rααL可由1,,sββL线性表出,(2)向量组1,,rααL线性无关则rs≤.二、向量组的秩由例4说明,向量组的极大线性无关组不是唯一的.但由命题4.3-1知,每个极大线性无关组都与向量组本身等价,因而由等价关系的传递性知:一个向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.再由引理4.3-1,推出下列定理定理4.3-1任一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.我们给出定义4.3-2任一向量组A的任一极大线性无关组所含向量个数称为向量组的秩.记作rank(A),或r(A).高等代数第四章线性方程组第5页共8页推论1设向量组A的秩为r,则A的任何一个线性无关的部分组中所含向量的个数不超过r.推论2如果向量组A可由向量组B线性表出,则()()rArB≤，进而等价向量组的秩相等.§4.4矩阵的秩定义1任一矩阵A的行向量组的秩称为这个矩阵的行秩,A的列向量组的秩称为A的列秩.一、行化简与阶梯形矩阵在以下的定义中,矩阵中非零行或列指矩阵中至少包含一个非零元素的行或列;非零行的先导元素是指该行中最左边的非零元素定义2一个矩阵称为阶梯形(或行阶梯形),若它有以下性质:1.每一非零行在每一零行之上;2.每一先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边;3.某一先导元素所在列下方的元素都是零.若一个矩阵还满足以下性质,称它为简化阶梯形(或简化行阶梯形)4.每一非零行的先导元素是1;5.每一先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素.命题1任一矩阵都可经初等行变换化成阶梯形;任一矩阵都可经初等变换化成简化阶梯形.阶梯形矩阵的秩就等于其中非零行的个数引理1初等行变换不改变矩阵的行秩;初等列变换不改变矩阵的列秩.引理2矩阵的行秩在初等列变换下不变，列秩在初等行变换下不变.定理1矩阵的行秩与列秩在初等变换下不变.推论1任一矩阵的行秩等于列秩.定义3矩阵A的行秩和列秩统称为A的秩,记为rank(A)或r(A).推论2任一矩阵A的转置TA与A有相同的秩.推论3下列条件等价(1)n阶方阵A的n个行向量(或列向量)线性无关;(2)A的行列式不等于零;(3)()rAn=;(4)A是可逆矩阵.推论4两个mn×矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的秩.高等代数讲义第6页共8页下面我们建立矩阵的秩与行列式的关系定理,它在一些理论分析中是有用的工具.定义4在矩阵()ijmnAa×=中任意选定k行与k列,位于这些行与列交叉点处的2k个元素按原来的次序构成一个k阶行列式,称为A的一个k阶子式.例如,在矩阵14105201161307311890A−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠中取第1,3行和第2,4列得到的2阶子式为4037又如选取1,2,4行与2,3,4列,相应的3阶子式为3410011189−−定理2一个矩阵的秩是r的充分必要条件是:矩阵中有一个r阶子式不为零,同时所有1r+阶子式全为零.§4.5线性方程组一、线性方程租的表达形式一般形式：11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩LLLLLLL；矩阵形式：β=Ax，其中111212122212A=nnmmmnaaaaaaaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLMMML，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=mnbbbxxxMM2121,βx；向量形式：1122nnxxxαααβ+++=L，其中()nAααα,,,21L=。增广矩阵：()βMAA=。高等代数第四章线性方程组第7页共8页二、线性方程组的消元解法解线性方程租的初等变换：1．对换变换将某两个方程互换位置;2．倍乘变换用一个非零数去乘某一方程;3．倍加变换将某一方程的若干倍加到另一方程.我们看到,线性方程组所作的初等变换分别对应于其增广矩阵的初等行变换,方程组在变换前后的同解关系可理解为其增广矩阵经初等行变换后行向量组的等价关系.三、解的存在定理定理1对于线性方程组,有下列结论:(1)若系数矩阵A与增广矩阵A的秩都等于未知量的个数n,则该方程组有且只有唯一的一组解;(2)若系数矩阵A与增广矩阵A的秩相等但小于n,即()()rArAn=,则方程组有无穷多组解;(3)若()()rArA≠,则该方程组无解.四、齐次线性方程组Ax=0解的结构1．解的性质次线性方程组解的线性组合还是方程组的解.2．基础解系定义1齐次线性方程组的一组解12,,,tηηηL称为它的一个基础解系,如果(1)方程组的任一解都可表示成12,,,tηηηL的线性组合;(2)12,,,tηηηL线性无关.定理2设有齐次线性方程组0Ax=其中()ijmnAa×=.若()rArn=,则该方程组有非零解,并且基础解系12,,,nrηηη−L所含向量的个数等于nr−,从而该方程组的任一组解均可由12,,,nrηηη−L线性表出.五、非齐次线性方程组βA=x解的结构称Ax=0为非齐次线性方程组βA=x的导出组1．解的性质（1）方程组βA=x的一个解与它的导出组的一个解之和还是这个方程组的一个解.高等代数讲义第8页共8页（2）方程组βA=x的两个解的差是其导出组的解.2．解的结构定理定理3设有非齐次线性方程组βA=x,它的系数矩阵A与增广矩阵A的秩等于,rrn.假定γ是βA=x的任一特解,导出组的基础解系为12,,,nrηηη−L,则其所有解都可表示成如下形状;1122nrnrkkkηηηγ−−+++L,其中12,,,nrkkk−L为任何数.例1求解下列方程组：123451234512345231,235230,3522101.xxxxxxxxxxxxxxx++++=⎧⎪+++−=⎨⎪++−−=−⎩