南京工程学院《概率论与数理统计》第一章课件-盛骤

从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东西.他们没有认识到有可能去研究随机性，或者是去测量不定性.(低维高维)“得分问题”甲、乙两人各出同样的赌注，用掷硬币作为博奕手段.每掷一次，若正面朝上，甲得1分乙不得分.反之，乙得1分，甲不得分.谁先得到规定分数就赢得全部赌注.当进行到甲还差2分乙还差3分，就分别达到规定分数时，发生了意外使赌局不能进行下去，问如何公平分配赌注？现代概率论起源：十七世纪Pascal与Fermat赌博问题本学科的ABC概率(或然率或几率)——随机事件出现的可能性的量度——其起源与博弈问题有关.16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B.帕斯卡、荷兰数学家C.惠更斯基于排列组合的方法，研究了较复杂的赌博问题，解决了“合理分配赌注问题”(即得分问题).概率论是一门研究客观世界随机现象数量规律的数学分支学科.发展则在17世纪微积分学说建立以后.基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科.论；使概率论成为数学的一个分支的真正奠对客观世界中随机现象的分析产生了概率数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支学科.（大数据淘宝出租车相亲节目、网站春运“前夕地图”中国人的学习优势）课程特点：1、预备知识多：集合,排列组合,微积分,级数等；2、公式多，解题中应注重方法；前后连贯性较强.注重基本概念和基本理论，特别注重彼此间的内在联系和融会贯通，使学习更具启发性和主动性，从而克服埋头盲目做题的弊端。强调对概念的深刻理解和相互之间联系，使得概念和结论更容易理解和记忆——要记得其实更少了，高效率学习的关键。3、重视模型化能力和软件应用能力强调基本概念和规律性为此增加重要分布律产生的背景，从而提高模型化能力和准确判断使用的能力。EXCELMATLAB学习要求：1、读书：教材中的定理、公式和例题；2、及时完成作业；3、课前预习﹑认真听课、课后复习.学好本课程的必要性1.考试；2.后继学习的基础.近期：1.考研的基础；2.进一步提高的阶梯；3.思维方式的培养.远期：关于补考、重修的问题数学：高数，概率，线代.考研•教学参考书：1.概率论与数理统计葛余博清华大学出版社清华大学公共基础平台课教材2.概率论与数理统计徐全智高等教育出版社电子科技大学应用数学学院国家工科数学课程教学基地系列教材3.概率论基础教程SheldonRoss南加州大学机械工业出版社4.概率论与数理统计中的典型例题分析与习题龙永红高等教育出版社例1盒中有2白3黑5个球,现随机取出3个球:①3球中至少包含一个黑球.②3球中包含黑球的个数.第一章概率论的基本概念不确定性现象(随机现象).确定性现象(必然现象),§1随机试验若一个试验满足：(1)相同条件下可重复进行；(2)每次试验出现的可能结果不止一个，所有结果已知；(3)每次试验前不能确定会出现哪个结果.则称此试验为随机试验.简称试验，一般用E表示.E1：掷一均匀硬币三次，观察正(H)、反(T)面出现的情况.E2：掷一枚骰子两次，观察它们点数的情况.例2随机试验例子样本空间的元素，即E的每个结果称为E的样本点.试验E的所有可能结果的集合称为E的样本空间，记为S.一、样本空间§2样本空间随机事件E1：掷一个均匀硬币三次，观察正(H)、反(T)面出现的情况.S1=S2=例1E2：掷一个均匀硬币三次，观察正、反面出现的次数.{HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}{(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),|…,(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)}写出各下列试验Ei的样本空间Si.E3：从一批电子元件里任意抽取一只测试寿命.S3={t|t≥0}.E4：某飞船返回舱返回地面时开伞的空间位置.S4={(x,y,z)|x[经度]，y[纬度]，z[高度]}.二、随机事件定义样本空间S的子集称为随机事件(简称事件).记为A、B、C….注1特殊情况：S称为必然事件；空集称为不可能事件.注2含有n个样本点的样本空间S共有2n个事件.由一个样本点组成的集合称为基本事件.例2掷一枚硬币三次，观察正反面出现的情况.随机事件A1={H比T多一次}={HHT,HTH,THH}.A4={H和T一样多}=.A2={第二次是T}=A3={仅第二次是T}={HTH}.{HTH，HTT，TTH，TTT}.基本事件不可能事件A5={H和T不一样多}=S.必然事件注事件A发生A中某个样本点在试验中出现.三、事件的关系与运算1.事件的包含关系（集合的包含）若A发生必导致B发生,则称A包含于B,记为AB.注AS.例如，设A={三次都是H}={HHH},B={第一次是H}={HHH,HHT,HTH,HTT,}，则AB.2.事件的相等关系（集合的相等）若AB且BA，则称A与B相等，记为A=B.相当于3.事件的和（集合的并）注A∪A=A，A∪=A，A∪S=S.例如，A={HHH},B={TTT},A∪B={HHH,TTT}.A∪B={x|xA或xB}称为A与B的和事件.A∪B发生A和B至少有一个发生.4.事件的积（集合的交）A∩B={x|xA且xB}称为A和B的积事件.A∩B可记为AB.A∩B发生A和B同时发生.注A∩A=A，A∩=，A∩S=A例如,A={第一次是H}={HHH,HHT,HTH,HTT},B={第二次是H}={HHH,HHT,THH,THT}.则AB={HHH,HHT}.5.事件的差（集合的差）A–B={x|xA且xB}称为A与B的差事件.A–B发生A发生.注1常用A–B=A–AB.注2A–=A，A–S=，A–A=.例如，A={前两次都是H}={HHH,HHT}，B={第三次是T}={HHT,HTT,THT,TTT}，则A–B={HHH}.6.事件的互不相容关系（集合的不相交）若AB=,即则称A与B互不相容(互斥).即A与B不能同时发生.注1不可能事件与任意一个随机事件A互斥.例如，事件A={HHH,HHT}与B={TTH,TTT}是互斥的.注2基本事件为两两互斥的。7.逆事件（集合的补）称SA为A的逆事件(对立事件)，记为.发生A不发生.AASAABAB例如,A={HHH,TTT},则A={HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH}.注3常用公式：注2A与A互为逆事件.注1A∪A=S，A∩A=.完备事件组事件A,B,C的运算满足:(1)交换律A∪B=B∪A，AB=BA；(2)结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(AB)C=A(BC)；(3)分配律A(B∪C)=(AB)∪(AC)，A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)；(4)DeMorgan(德莫根)律ABABABAB,注事件的关系与运算可推广到有限、无穷多个事件.四、随机事件的运算规则例3设Ai为:第i个电器工作正常(i=1,2,…,n).B为:整个电路LR工作正常.在下列两种情况中，用Ai表示事件B.B=B=…LRA1∪A2∪…∪An···LRA1A2…AnniiA1.1niiA例4掷硬币三次,设A1={HHH,HHT,HTH,HTT},A2={HHH，TTT},求A1–A2，A2–A1，.AA12解S={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}.因A1A2=A1–A2=A1–A1A2=A2–A1=A2–A1A2={THH，THT，TTH}.{THH,THT,TTH,TTT},{HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH},{HHH}，{HHT，HTH，HTT}，{TTT}，1A2A==1A2A∩=例5把A∪B分解成互不相容的事件的和.解①A∪B=A∪(B–A)=A∪(B–AB)；②A∪B=(A–B)∪AB∪(B–A)=(A–AB)∪AB∪(B–AB).BASAB例6A、B、C是三个事件，利用事件的关系与运算表示下列事件.(1)A发生而B与C都不发生：ABC(2)A、B都发生而C不发生：ABC(3)A、B、C都发生：或A–B–C或A–(B∪C).或AB–C或AB–ABC.ABCSBAC(7)三者至少有一个发生：(5)三者恰好只有一个发生：(6)三者恰好只有两个发生：(4)A、B、C都不发生：ABCorABCA∪B∪C或SBACABCABCABC∪∪ABCABCABC∪∪ABCABCABCABCABCABCABC∪∪∪∪∪∪§3频率与概率一、频率1.频率的定义n次重复试验中,A发生的次数为nA，则定义A发生的频率为fn(A)=——.nAn2.频率的性质(1)(非负有界)0≤fn(A)≤1;(2)(规范性)fn(S)=1;(3)(有限可加)若A1,A2,···,Am两两互不相容,则fn(A1∪A2∪…∪Am)=fn(A1)＋fn(A2)＋…＋fn(Am).(1)随机波动性(2)稳定性频率的特点：例2.“英语字母使用频数”试验(黛维,1970，438023个字母)例1.“抛硬币”试验实验者实验次数n出现H次数nH频率fn(H)德·摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069K·皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998ETAOIN……Z0.12680.09780.07880.07760.07070.0706……0.0006可以证明，当n时，频率fn(A)的极限在一定意义下等于概率P(A).二、概率定义对样本空间S的每个事件A定义一个实数P(A)，若满足：(1)(非负性)P(A)≥0；(2)(规范性)P(S)=1；(3)(可列可加性)若A1，A2，…，为任意两两不相容的事件，则有：P(A1∪A2∪…)=P(A1)＋P(A2)＋…则称P(A)为事件A的概率.1.概率的定义(1)不可能事件的概率为零：P()=0；2.概率的四个基本性质(2)有限可加性：若AiAj=,1≤ij≤m，则P(A1∪A2∪···∪Am)=P(A1)＋P(A2)＋···＋P(Am)；(3)单调性：若AB，则P(A)≤P(B)；(4)随机事件的概率不超过1：P(A)≤1.三、概率的几个重要公式1.逆概公式P()=1–P(A).A2.减法公式P(B–A)=P(B)–P(AB).3.加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB).注常用P(B)=P(B–A).A推论若A,B互不相容，则P(A∪B)=P(A)+P(B).当AB时，P(B–A)=P(B)–P(A)4.一般的加法公式对于任意的n个随机事件A1，A2，···，An，有P(A1∪A2∪···∪An)=niijiijnAAA11P()P()nijknijknAAAAA111P()...(1)P(..)例如三个事件(先看成两个事件的加)的加法公式：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)–P(BC)–P(AC)+P(ABC).例2设P(A)=0.3，P(B)=0.5，分别求P(B–A):(1)A、B不相容；(2)AB；(3)P(A∪B)=0.7.解由减法公式，P(B–A)=P(B)–P(AB).(1)AB=，P(AB)=0，(2)AB,即AB=A，(3)利用加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)，得到P(AB)=0.10.5；0.2；0.4.则P(B–A)=P(B)=则P(B–A)=P(B)–P(A)=也可利用加法公式的另一形式：P(A∪B)=P(A)+P(B–A)，得到P(B–A)=0.4.则P(B–A)=P(B)–P(AB)=第四节等可能概型(古典概型)一、等可能概型的定义若试验E满足：(1)其样本空间S只包含有限个样本点；(2