材料力学chapt4

第四章弯曲内力第一节对称弯曲的概念及梁的计算简图第二节梁的剪力与弯矩第三节剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图第四节弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用第五节按叠加原理作弯矩图一、弯曲的概念1、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。2、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。第一节对称弯曲的概念及梁的计算简图弯曲内力FqFAFB纵向对称面二、梁的荷载及计算简图研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系。1.梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。2.梁的支座简化(平面力系)：弯曲内力a)滑动铰支座b)固定铰支座c)固定端RFRyFRxFRyFRxFRM弯曲内力3.静定梁—仅用静力平衡方程即可求得反力的梁(a)悬臂梁(b)简支梁(c)外伸梁4.作用在梁上的荷载可分为:(a)集中荷载F1集中力M集中力偶(b)分布荷载q(x)任意分布荷载q均布荷载第二节梁的剪力与弯矩弯曲内力一、截面法过程：切取、替代、平衡FABaxASSAy0:0FFFFFxFMxFMMAAC0:0xAFSFMCFSFMBFCABSBSy0:0FFFFFFFFxFxlFxFMxlFxFMMABBC0:0弯曲内力①剪力—平行于横截面的内力，符号：，正负号规定：使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负(左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正)；MMMMFSFSFSFS②弯矩—绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩为正)。剪力为正剪力为负弯矩为正弯矩为负二、平面弯曲梁横截面上的内力：)0(kN29030kN1502335.460y的正误或校核求也可由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFMmkN26)5.12(2kN7A1A1SFFMFFFmkN3025.15.15.1kN115.1B2B2SqFMFqF例一求下图所示简支梁11与22截面的剪力和弯矩。弯曲内力2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：1、求支反力2、计算1-1截面的内力3、计算2-2截面的内力F=8kNFAS1F1MFBq=12kN/mS2F2M)()(SSxMMxFF1.剪力、弯矩方程：2.剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。例二作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。第三节剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图弯曲内力FxxMFxF)()(S剪力、弯矩方程：xFSFFlMFlMFFmaxmaxS||||FlABFSM2qlFFBA由对称性知：222)(2)(22AASqxqLxqxxFxMqxqlqxFxF82,2maxmaxSqlMqlF例三图示简支梁受均布荷载q的作用，作该梁的剪力图和弯矩图。弯曲内力qlABx解：1、求支反力FAFB2、建立剪力方程和弯矩方程2/ql2/ql8/2ql例四在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，作该梁的剪力图和弯矩图。由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向。弯曲内力FabClAB解：1、求支反力lFaFlFbFBA；2、建立剪力方程和弯矩方程axlFbxxFxMaxlFbFxFAC段0)(0)(:AASxFAFBlxaxllFaxlFxMlxalFaFxFCB段ABS)()(:FSlFb/lFa/MlFab/弯曲内力由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。例五在图示简支梁AB的C点处作用一集中力偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。abClABM解：1、求支反力lMFlMFBA；2、建立剪力方程和弯矩方程axlMxxFxMaxlMFxFAC段0)(0)(:AASxFAFBlxaxllMxlFxMlxalMFxFCB段BBS)()(:FSlM/MlMa/lMb/一、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系1.假设：规定q(x)向上为正，向下为负；任取微段，认为其上q(x)为常数，无集中力、集中力偶；内力作正向假设。2.微分关系推导：第四节弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用弯曲内力yxMF1q(x)ABxdxq(x)dxOM(x)FS(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x))(d)(d0)()(d)()(0SSSSxqxxFdxxqxFxFxFFy：)(d)(d0)(21)()()(d)(0S2SxFxxMxqdxxFxMxMxMMdxO：)(d)(d22xqxxM1.微分关系的几何意义：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。2.各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：二、讨论微分关系的几何意义弯曲内力外力情况q0(向下)无荷载段集中力F作用处：集中力偶M作用处：剪力图上的特征↘(向下斜直线)水平线突变，突变值为F不变弯矩图上的特征(下凸抛物线)斜直线有尖点有突变，突变值为M最大弯矩可能的截面位置剪力为零的截面剪力突变的截面弯矩突变的某一侧3.其它规律：①|M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处；②q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点；③荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称。1.先利用计算法则计算分段点FS、M值；2.利用微分关系判断并画出分段点之间的FS、M图。三、利用微分关系作剪力弯矩图例六外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的FS----M图。弯曲内力解：1、求支反力kN8.3kN2.7BAFF2、判断各段FS、M图形状：CA和DB段：q=0，FS图为水平线，M图为斜直线。AD段：q0，FS图为向下斜直线，M图为上凸抛物线。DABm1m4m1kN3kN/m2mkN6C3、先确定各分段点的FS、M值，用相应形状的线条连接。FS+__3(kN)4.23.8Ex=3.1mM(kN·m)3.81.4132.2_+FAFB当变形为微小时，可采用变形前尺寸进行计算。1、叠加原理：当梁在各项荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩的代数和。2、区段叠加法作弯矩图：设简支梁同时承受跨间荷载q与端部力矩MA、MB的作用。其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：第五节按叠加原理作弯矩图+MAMBM0++MAMBM0弯曲内力xMxMxM0BMAAqMBlB注意：这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合。d图中的纵坐标如同M图的纵坐标一样，也是垂直于杆轴线AB。（1）选定外力的不连续点(如集中力、集中力偶的作用点，分布力的起点和终点等)为控制截面，求出控制截面的弯矩值。（2）分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直线图形。当控制截面之间有荷载时，用叠加法作该段的弯矩图。例七作图示简支梁的弯矩图。利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般作法归纳如下：弯曲内力2FCl/2ABFl/2l/22/FlM2/Fl2/Fl4/Fl