第八章-绕流运动

实际流体都有粘性，但对于一些实际问题，如本章要介绍的绕流问题，由于其雷诺数相对较大，因而流体中的惯性切应力远远大于粘性切应力，则粘性切应力可以忽略不计，因而流体可以简化为理想流体，则相应的计算理论可选用理性流体的计算理论。流体在绕障碍物流动时，在靠近障碍物的一薄层内，存在着强烈的剪切流动，因而粘性切应力不能忽略，这一层我们称为附面层，在附面层内，粘性切应力对流动起着主导作用。本章主要介绍理想流体的运动规律，同时简单介绍附面层的理论。引言§8.1无旋流动由第七章知，如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零，也就是沿任何封闭曲线的速度环量都等于零，则在这个区域内的流动一定是无旋流动，即：102102102yzxxzyyxzuuyzuuzxuuxyyxxzyzuuxyuuzxuuyz而由速度的全微分理论得，空间必然存在一个势函数，使得：,,xyzdxyzudxudyudz§8.1无旋流动而由势函数的全微分得：ddxdydzxyzxyzuxuyuz即速度在三坐标轴上的投影，等于速度势函数对于相应坐标的偏导数。cos,suusus进一步，我们可以得出速度速度在任一方向的分量等于速度势函数在该方向上的偏导数，即：结论：流速势函数的存在条件：不可压缩流体的无旋流；因而流速势函数只能存在于理想流体中。§8.1无旋流动现在我们把速度势函数xyzuxuyuz代入不可压缩流体的连续性方程20=或上式为速度势函数的拉普拉斯方程形式。0yxzuuuxyz2222220xyz问题：设速度势函数，则点B（1，2，1）处的速度为：（）A、5；B、1；C、3；D、2。xyzBuC§8.1无旋流动在极坐标中中，径向微元线段是，,ruurururdr四周的微元线段是，rd则速度势函数,r与速度的关系为：相应的其速度势函数的拉普拉斯方程极坐标形式为：2222210rrrr速度势函数的性质（1）速度沿三个坐标轴的分量等于速度势对于相应坐标的偏导数xyzuuuxyz（2）在有势流动中，沿一曲线的速度环量等于曲线终点与起点的速度势之差。BBBABxyzBAAAAudxudyudzdxdydzdxyz（3）在有势流动中，速度势函数满足拉普拉斯方程。02222222zyx§8.1无旋流动§8.2平面无旋流动在流场中，如果xyuu、只是的函数，且与无关，而，,xy0yxuuxyxryuuyruurx或,xyz0zu则这种流动称为平面流动。此时只有旋转角速度分量，z而如果旋转角速度分量，0z则这种流动称为平面无旋流动。相应的，其连续性方程为yxuuxy由上式可以定义一个函数,使得式中：—不可压缩流体平面流动的流函数。适用范围：无旋流、有旋流、实际流体、理想流体的不可压缩流体的平面流动。则流函数的拉普拉斯方程形式为：对于无旋流，有yxuuyx2222200xy，或=流函数的性质（1）流函数等值线就是流线。（2）在平面流动中，两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数之差。[cos(,)cos(,)][()]()BBBBVnnnxyxyBAAAAAdydxqudlunxunydluudludyudxdldl(,)0yxxyCudxudy，d§8.2平面无旋流动(,)xyC得平面流线方程：xydxdyuu得证例1：有下面二个流动(a):;(b):。试求：（1）判别流动(a)中是否存在流函数？若存在，求流函数。（2）判别流动(b)中是否存在势函数？若存在，求势函数。1,2xyuu4,4xyuxuy例2：已知流场的流函数；（1）证明此流动是无涡流；（2）求出相应的速度势函数；（3）证明流线与等势线正交。22axay速度势函数和流函数的关系则等势线簇和流线簇相互垂直。(,)xyC(,)xyCxyuxyuyx0xxyy§8.2平面无旋流动§8.2平面无旋流动流网（flownet）：不可压缩流体平面流动中，在流体质点没有旋转角速度的情况下，流线簇与等势线簇构成的正交网格。1流网的性质（1）等势线与等流函数线处处正交证明：等势线簇：(,)xyC0xxyconstyudydudxudydxu，为等势线斜率；等流线簇：(,)xyC0yyxconstxudyudxudydxud，为流线斜率；1constconstdydydxdx得证。§8.2平面无旋流动1流网的性质（2）流网中每一网格的边长之比等于和的增值之比若取，则流网网格为正方形网格。／=证明：如右图所示，取相邻两线间的差值为ΔC，流线间隔为Δn，等势线间隔为Δs。sqCuAnn且sCusss所以，则流网网格为正方形网格。Cn§8.2平面无旋流动2流网的绘制（1）图解法1）固体边界上的运动学条件是垂直于边界的流速分量应为零，液体必然沿固体边界流动，所以固体边界本身是流线之一。等势线与边界正交。2）自由液面处和液面垂直的流速等于零。所以自由液面必是流线。3）根据事先选定的网格比例绘制出流线和等势线。再根据流网特征反复修改，力争使每一个网格都绘制成曲边正方形。（2）电比拟法。3.流网的应用流网原理已广泛用于理想流体势流中的速度场、压强场求解，如土坝渗流等。流速场：因流网中，任两相邻流线之间相同，亦即网格内流量，yqC又qun，所以各网格内1221unun（流速与间距△n成反比）。已知一点流速其他各点流速压强场：211221212ppuupzzggg已知一点压强其他各点压强§8.3几种简单的平面无旋流动一、均匀直线流动流速的大小和方向沿流线不变的流动为均匀流；若流线平行且流速相等，则称均匀等速流。如：xyuaub，由于ddxdyadxbdyaxbyxy而ddxdybdxadybxayxy在以上二式中均取积分常数为零，这对流动的计算并无影响。一均匀流设均匀流的速度为与x轴平行，那么xuaxy0yuyx求速度势函数:xydudxudyadxaxc令c=0，ax求流函数yxdudxudyadyayc令c=0，ay则均匀流的等势线是一族平行于y轴的直线，流线为一族平行于x轴的直线,如取，则其流网是正方形网格.图2均匀流示意图二源流和汇流无限大平面上，流体从一点沿径向直线均匀地向外流出的流动，称为点源，这个点称为源点；如果流体沿径向均匀的流向一点，称为点汇，这个点称为汇点。不论是点源还是点汇，流场中只有径向速度，即源流和汇流10urrur(a)(b)根据流体的连续性原理，在极坐标中流体流过任意单位高度圆柱面的体积流量Q（也称为源流或汇流的强度）都相等，即2rQur上式中点源取正号，点汇取负号。根据上式，只是r的函数，所以2rQdudrdrr积分得22lnln22QQrxy以上讨论表明，当0r时，ru，源点和汇点是奇点，以上和ru只有在r＞0时才有意义。流函数和速度的关系为1rur，0ur因此，只是的函数，故有2rQdrudd上式积分得1tan22QQyx（7-44b）根据以上得到的流函数和势函数可知，等势线为不同半径的同心圆，即r=常数；流线为不同极角的径线，即=常数。在水平面yx面上，对半径r处和无穷远处列伯努利方程pvp22代入速度值后2228rqppv（7-44c）由上式可知，压强随着半径的减小而降低。零压强处的半径为2/1220]8[pqrv。以上各式仅适用于0rr的区域。例1：平面点源（汇）流动，求：（1）问是否为有势流。（2）若有势，求流速势函数。（3）是否为不可压缩流体。（4）求平面流动的流函数。（5）求压强分布。三环流点涡若直线涡束的半径0br，则垂直于该涡束的平面内的流动称为点涡或自由涡流，涡流中心称为涡点。涡点以外势流区的速度分布仍为0,2rΓuurrr由以上关系式知，0r时，u，所以涡点为奇点，该式仅适用于0＞r区域。由此式可见，只是的函数。故有2durdd积分得2速度和流函数的关系为10rur，ur上式表明只是r的函数，所以2Γdudrdrr上式积分得rΓln2由上可知，点涡流场的等势线为不同极角的径线，即=常数；流线为不同半径的同心圆，即r=常数。与点源（或点汇）相反。点涡的强度即沿围绕点涡的速度环量Γ＞0时，环流为逆时针方向；Γ＜0，环流为顺时针方向。由斯托克斯定理知，点涡的强度Γ取决于旋涡的强度。以上几种简单的平面势流实际中很少应用，但它们是势流的基本单元，若把几种基本单元叠加在一起，可以形成许多有实际意义的复杂流动。§8.4势流叠加一、汇流和点涡叠加的流动——螺旋流二、源流和汇流叠加的流动——偶极子流几个简单有势流动叠加得到的新的有势流动，其速度势函数和流函数分别等于原有几个有势流动的速度势函数和流函数的代数和，速度分量为原有速度分量的代数和。研究势流叠加原理的意义：将简单的势流叠加起来，得到新的复杂流动的流函数和势函数，可以用来求解复杂流动。一汇流和点涡叠加的流动——螺旋流螺旋流网若点源和点涡均位于坐标原点，组成一新的流场，其速度势和流函数为121(ln)2QrΓ121(ln)2QΓr令以上的速度势和流函数为常数，得到的等势线和流线方程分别为1QrCe，2QrCe其图像如图所示，等势线和流线是两组相互正交的对数螺旋线，故称汇流和点涡叠加的流动为螺旋流。其速度分布为:2rQvrrrΓrv21压强分布可用前述方法导出，表达式为2222()8QΓppr其适用范围应为221/202()[]8QΓrrp。二源流和汇流叠加的流动——偶极子流点源和点汇叠加两个强度Q相等的位于点A(-a,0)的点源和位于点B(a,0)的点汇叠加，如图所示。由于2222)]/()][/([1)/()/(tantan1tantan)tan(ayxayaxyaxyaxyaxyBABABA组合流动的速度势和流函数为2222()(lnln)lnln224()vAABBqrQQxayrrrxay（7-52）2222()arctan222ABpQQQayxya（7-53）p是AP、BP之间的夹角，在流线上=常数，p=常数。其图像为经过源点和汇点的圆线族。偶极流0a时，源点和汇点无限接近，流量为无限增大，使得0lim2aQQaM取有限值，称这种流动为偶极流。M为偶极子矩，其方向由源点指向汇点。当为微量时，..