中考数学专题复习(十)-函数的实际应用题

专题复习(十)函数的实际应用题1．(2016·合肥蜀山区二模)为加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭用水量划分为两个阶梯，一、二级阶梯用水的单价之比等于1∶2.如图折线表示实行阶梯水价后每月水费y(元)与用水量x(m3)之间的函数关系．其中射线AB表示第二阶梯时y与x之间的函数关系．(1)写出点B的实际意义；(2)求射线AB所在直线的表达式．解：(1)图中B点的实际意义表示当用水量为25m3时，所交水费为70元．(2)设第一阶梯用水的单价为m元/m3，则第二阶梯用水单价为2m元/m3，设A(a，30)，则am＝30，am＋2m（25－a）＝70.解得a＝15，m＝2.∴A(15，30)，B(25，70)．设线段AB所在直线的表达式为y＝kx＋b，则15k＋b＝30，25k＋b＝70.解得k＝4，b＝－30.∴线段AB所在直线的表达式为y＝4x－30.2．(2016·芜湖南陵县一模)某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y＝－2x＋100.(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间函数解析式(利润＝售价－制造成本)；(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)z＝(x－18)y＝(x－18)(－2x＋100)＝－2x2＋136x－1800.∴z与x之间的函数解析式为z＝－2x2＋136x－1800(18≤x≤50)．(2)由z＝350，得350＝－2x2＋136x－1800，解得x1＝25，x2＝43.将z＝－2x2＋136x－1800配方，得z＝－2(x－34)2＋512(18≤x≤50)．∴当x＝34时，z最大＝512.答：销售单价定为25元或43元时，厂商每月能获得350万元的利润；当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元．3．(2016·合肥十校联考)某企业生产一种节能产品，投放市场供不应求．若该企业每月的产量保持在一定的范围，每套产品的售价不低于120万元．已知这种产品的月产量x(套)与每套的售价y1(万元)之间满足关系式y1＝190—2x，月产量x(套)与生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系．(1)直接写出y2与x之间的函数关系式；(2)求月产量x的取值范围；(3)当月产量x(套)为多少时，这种产品的利润W(万元)最大？最大利润是多少？解：(1)y2＝30x＋500.(2)由题意，得190－2x≥120，解得x≤35.又x＞0，∴月产量x的范围是0＜x≤35.(3)由题意，得W＝(190－2x)x－(30x＋500)＝－2x2＋160x－500＝－2(x－40)2＋2700.∵－2＜0，且对称轴为直线x＝40，∴当0＜x≤35时，W随x的增大而增大．∴当x＝35时，W有最大值，最大值是2650.故当月产量为35套时，这种产品的利润最大，最大利润是2650万元．4．(2016·晋江模拟)如图，把一张长15cm，宽12cm的矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．设剪去的小正方形的边长为xcm.(1)请用含x的代数式表示长方体盒子的底面积；(2)当剪去的小正方形的边长为多少时，其底面积130cm2?(3)试判断折合而成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？若有，试求出最大值和此时剪去的小正方形的边长；若没有，试说明理由．解：(1)(15－2x)(12－2x)cm2.(2)依题意，得(15－2x)(12－2x)＝130，即2x2－27x＋25＝0，解得x1＝1，x2＝252(不合题意，舍去)．答：当剪去的小正方形的边长为1cm时，其底面积是130cm2.(3)设长方体盒子的侧面积S，则S＝2[(15－2x)x＋(12－2x)x]，即S＝54x－8x2＝－8x－2782＋7298(0x6)．当x＝278时，S最大值＝7298.即当剪去的小正方形的边长为278cm时，长方体盒子的侧面积有最大值7298cm2.5．(2016·安徽十校联考四模)某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？(2)设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元(其他销售条件不变)?解：(1)设件数为x，根据题意，得3000－10(x－10)＝2600.解得x＝50.答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元．(2)由题意，得3000－10(x－10)≥2600.解得x≤50.当0≤x≤10时，y＝(3000－2400)x＝600x；当10＜x≤50时，y＝[3000－2400－10(x－10)]x＝－10x2＋700x；当x＞50时，y＝(2600－2400)x＝200x.(3)由y＝－10x2＋700x可知抛物线开口向下．∴当x＝－7002×（－10）＝35时，利润y有最大值，此时销售单价为3000－10×(35－10)＝2750(元)．答：公司应将最低销售单价调整为2750元．6．(2016·临朐县一模)家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R(kΩ)随温度t(℃)(在一定范围内)变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加415kΩ.(1)求当10≤t≤30时，R和t之间的关系式；(2)求温度在30℃时电阻R的值；并求出t≥30时，R和t之间的关系式；(3)家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6kΩ？解：(1)∵温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，∴设R和t之间的关系式为R＝kt.将(10，6)代入上式中得6＝k10，解得k＝60.∴当10≤t≤30时，R＝60t.(2)将t＝30代入上式中，得R＝6030，解得R＝2.∴温度在30℃时，电阻R＝2kΩ.∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加415kΩ，∴当t≥30时，R＝2＋415(t－30)，即R＝415t－6.(3)把R＝6代入R＝415t－6，得t＝45.∴温度在10～45℃时，电阻不超过6kΩ.7.(2016·合肥高新区一模)音乐喷泉(图1)可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y＝kx上变动，从而产生一组不同的抛物线(图2)，这组抛物线的统一形式为y＝ax2＋bx.(1)若已知k＝1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，求此时a，b的值；(2)若k＝1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少m?(3)若k＝2，且要求喷出的抛物线水线不能到岸边，求a的取值范围．解：(1)当k＝1时，y＝x.由题意，得抛物线的顶点坐标为(3，3)．∴设抛物线的解析式为y＝a(x－3)2＋3.又∵抛物线过原点(0，0)．∴a×(－3)2＋3＝0，解得a＝－13.∴y＝－13(x－3)2＋3，即y＝－13x2＋2x.∴a＝－13，b＝2.(2)∵k＝1，喷出的水恰好达到岸边，出水口离岸边18m，抛物线的顶点在直线y＝kx上，∴此时抛物线的对称轴为x＝9，y＝x＝9，即顶点坐标为(9，9)．故此时喷出的抛物线水线最大高度是9m.(3)∵y＝ax2＋bx的顶点为－b2a，－b24a，抛物线的顶点在直线y＝2x上，∴－b2a·2＝－b24a，解得b＝4.∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边18m，∴－b2a＜9，即－42a＜9.又∵a＜0，∴a＜－29.8．(2016·芜湖繁昌县一模)某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y(万元)与销售时间x(月)之间满足二次函数关系式y＝a(x－h)2＋k，二次函数y＝a(x－h)2＋k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12，点A，B的纵坐标分别为－16，20.(1)试确定函数关系式y＝a(x－h)2＋k；(2)分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；(3)在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最大？最大利润是多少万元？解：(1)根据题意可设y＝a(x－4)2－16.当x＝10时，y＝20.∴a(10－4)2－16＝20，解得a＝1.∴所求函数关系式为y＝(x－4)2－16.(2)当x＝9时，y＝(9－4)2－16＝9，∴前9个月公司累计获得的利润为9万元．当x＝10时，y＝20，而20－9＝11.答：10月份一个月内所获得的利润为11万元．(3)设在前12个月中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s(万元)，则有s＝(n－4)2－16－[(n－1－4)2－16]＝2n－9.∵s是关于n的一次函数，且2＞0，∴s随着n的增大而增大．又∵1≤n≤12，∴当n＝12时，s最大＝15.答：12月份该公司一个月内所获得的利润最大，最大利润是15万元．9．(2016·安庆二模)某玩具店试销售一种进价为20元的新型玩具，根据物价部门规定：该玩具售价不得超过90元.在连续七天的试销售过程中，玩具店就销售量y(个)与售价x(元)之间的变化关系做了如下记录.第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天售价x30303540404045销售量y1001009590909085(1)运用所学过的函数知识，试判断y与x之间的函数关系，并求y与x的函数关系式；(2)该玩具店若想每天获得2400元的利润，应将售价定为多少元？(3)这种新型玩具的售价定为多少元时，玩具店每天能够获得的利润w(元)最大？此时的最大利润为多少元？解：(1)建立平面直角坐标系，并将表格中的数据看成点的坐标，并在坐标系中描出各点，根据点的排列趋势，可判断y与x之间满足一次函数关系，故设y＝kx＋b(k≠0)，分别将(30，100)和(40，90)代入，可得30k＋b＝100，40k＋b＝90.解得k＝－1，b＝130.∴y与x的函数关系式为y＝－x＋130.(2)根据题意，得(x－20)(－x＋130)＝2400.解得x1＝50，x2＝100.∵x2＝100＞90，故x＝50.答：应将售价定为50元．(3)根据题意，得w＝(x－20)(－x＋130)＝－x2＋150x－2600＝－(x－75)2＋3025.∵a＝－10，∴当x＝75时，w最大＝3025.答：当售价定为75元时，能够获得最大利润为3025元．10．(2016·阜阳二模)某市决定对欲引进种植的A，B两种绿色蔬果实行政府补贴，分析得到以下两条信息：信息一：对于A种蔬果，所获收益yA(万元)与补贴金额x(万元)之间满足正比例函数关系：yA＝kx；信息二：对于B种蔬果，所获收益yB(万元)与补贴金额x(万元)之间满足二次函数关系：yB＝ax2＋bx.x/万元12yA/万元0.6