等腰三角形三线合一典型题型[1]

1等腰三角形三线合一专题训练姓名例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.BCEAD2变3：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：（1）DM＝DN。⑵若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。问DM和DN有何数量关系。(1)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D．求证：DE=DF．DBCFAEMNDCBAMNDCBA3(2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点．求证：BE=CF．DBCFAE利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？4变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。ＦＦ1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（）A17B22C17或22D13根据等腰三角形的性质寻求规律例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？若∠1=13∠ABC，∠2=13∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？若∠1=1n∠ABC，∠2=1n∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个5三角形的腰长及底边长．利用等腰三角形的性质证线段相等例3．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．例1、等腰三角形底边长为5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）A、2cmB、8cmC、2cm或8cmD、不能确定例2、已知AD为△ABC的高，AB=AC，△ABC周长为20cm，△ADC的周长为14cm，求AD的长。例3、如图，已知BC=3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，求△OEF的周长。例4、如图，已知等边△ABC中，D为AC上中点，延长BC到E，使CE=CD，连接DE，试说明DB=DE。ABCABCDEABFCOE6例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450，则这个三角形是（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形例6、（1）等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为。（2）直角三角形的周长为12cm，斜边的长为5cm，则其面积为；（3）若直角三角形三边为1，2，c，则c=。例7、下列说法：①若在△ABC中a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；②若△ABC是直角三角形，∠C=900，则a2+b2=c2；③若在△ABC中，a2+b2=c2，则∠C=900；④若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有（把你认为正确的序号填在横线上）。例8、正三角形ABC所在平面内有一点P，使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有（）（A）1个（B）4个（C）7个（D）10个例9.四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（）A．2B．3C．22D．23例10.已知△ABC为正三角形，P为其内一点，且AP=4，BP=32，CP=2，则△ABC的边长为（）（A）52（B）72（C）4（D）24三．巩固练习1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于9，求它的周长。2、在△ABC中，AB=AC，∠B=400，则∠A=。3、等腰三角形的一个内角是700，则它的顶角为。4、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为.140°呢5、如图，在Rt△ABC中，∠C＝105o，直线BD交AC于D，把直角三角形沿着直线BD翻折，点C恰好落在斜边AB上，DCBA7PCBA如果△ABD是等腰三角形，那么∠A等于（）(A)40o(B)30o(C)25o(D)15o6、若△ABC三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC的形状为（）（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等腰直角三角形（D）等边三角形7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是……………………（）。A、有一腰和一角对应相等B、有两边对应相等C、有顶角和一个底角对应相等D、有两角对应相等8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）A、顶角B、底角C、顶角的一半D、底角的一半9、在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（）A、100°B、75°C、150°D、75°或100°10、如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且QC＝AP＝AQ＝BP＝PQ，则∠BAC＝…（）A、1250B、1300C、900D、120011、如图，△ABC中，AB＝AC，BD、CE为中线，图中共有等腰三角形（）个。A、4个B、6个C、3个D、5个12、如图，AB＝AC，AE＝EC，∠ACE＝280，则∠B的度数是…………（）A、600B、700C、760D、45013、如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上（端点A、C除外），设甲虫P到另外两边距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（）【解题方法指导】例1.已知，如图，AB＝AC＝CD，求证：∠B＝2∠DABCDECBAEDCBAQPCBA10题图11题图12题图8例2.已知，如图，△ABC是等边三角形，AD//BC，AD⊥BD，BC＝6，求AD的长。DABC【考点指要】等腰三角形、等边三角形及含30°角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大，但也要善于分析，找出图形中有关的性质。【典型例题分析】例1.（2005年苏州）如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD＝________。ABCD例2.已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，AD＝8，∠A＝30°，求CD的长。CDABE例3.已知，如图，△ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE＝CD，又BD与CE交于点F，试求∠BFE的度数。AEDFBC9【综合测试】1.已知，如图，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：DB＝DCABCD2.已知，如图，D、E是BC上两点，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CEABDEC3.已知，如图，△ABC中，DE//BC，AB＝AC，求证：AD＝AEADEBC4.已知，如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F，又BD＝CE，求证：DF＝EFADBCEF5.已知，如图，D是BC上一点，△ABC、△BDE都是等边三角形，求证：AD＝CE10ABDCE6.已知，如图，△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，又∠C＝15°，EC＝10，求AB的长。ADBCE例6、如图11，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边中点，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：AE＋AF是一个定值.证明：连接AD，∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAD＝45°，∠CAD＝45°，∴AD＝BD＝CD，∵∠EDF＝90°，∴∠EDA＋∠ADF＝90°，又由AD⊥BC得∠BDE＋∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，∠B＝∠DAF，BD＝AD，∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF，∴BE＝AF，∴AE＋AF＝AE＋BE＝AB（定值）.思考：四边形AEDF的面积是否也是定值呢？为什么？例4、如图9，已知AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD，你认为BE与AC之间有怎样的位置关系?你能证明它吗？证明：线段BE⊥AC，理由如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠FBD＋∠BFD＝90°，图11FADBCE图5DBCAO11在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF＝AC，FD＝CD，∴Rt△BDF≌Rt△ADC，∴∠BFD＝∠C，∴∠FBD＋∠C＝90°，∴∠BEC＝180°－（∠FBD＋∠C）＝180°－90°＝90°，即BE⊥AC.例5、如图10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M是AB上一点，求证：2222AMBMCM.证明：过C作CD⊥AB于点D，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，∴∠A＝∠B＝45°，∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，∴AD＝BD，BD＝CD，即AD＝BD＝CD，∵CD⊥AB，∴222DMCDCM，∴2222222()()2()2AMBMADDMBDDMDMCDCM.思考：请同学们试试用另外的方法来证明本题.例1、如图5，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，OB＝OC，求证：AO⊥BC.证明：延长AO交BC于点D，∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，∴△ABO≌△ACO，∴∠BAO＝∠CAO，即∠BAD＝∠CAD，∴AD⊥BC，即AO⊥BC.例2、如图6，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、BA的延长线上，且AE＝BD，求证：CE＝DE.证明：过E作EF⊥CD于点F，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BEF＝30°，∴BE＝2BF，即BA＋AE＝BC＋BD＝2BC＋CD＝2（BC＋CF），∴CD＝2CF，∴CF＝DF，在△CEF和△DEF中，CF＝DF，∠CFE＝∠DFE＝90°，EF＝EF，∴△CEF≌△DEF，∴CE＝DE.图6EFABDC图9EAFBCD图10CDABM12例3、如图7，已知在△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：PD＋PE是一个定值.解：连接AP，过点C作CF⊥AB于点F，由12ABCSABCF，12PABSABPD，1122PACSACPEABPE，ABCPABPACSSS，得：111222ABCFABPDABPE，即，PDPECF（定值）.说明：本例的结论可用文字语言叙述为：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高.拓展：如果点P不是在边BC上，而是在BC的延长线上，其它条件保持不变，那么PD与PE之间又有怎样的关系呢？解：连接AP，过点C作CF⊥AB于点F，（如图8）由12ABCSABCF，12PABSABPD，1122PACSACPEABPE，ABCPABPACSSS，得：111222ABCFABPDABPE，即,PDPECF（定值）.即，当点P在BC延长线上时，PD与PE之差为一定值.基础训练：1、填空题：（1）等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是。（2）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是；如果等腰三角形的两边长分