4.5利用相似三角形测高

6利用相似三角形测高新知梳理►知识点一利用阳光下的影子来测量旗杆高度6利用相似三角形测高[明确]太阳光可近似看做平行光．[步骤](1)构造相似三角形，如图4－6－3所示．6利用相似三角形测高(2)测量数据：AB(身高)，BC(人影长)，BE(旗杆影长)；待求数据：DE(旗杆高)．(3)计算理由：因为AC∥DB(平行光)，所以∠ACB＝∠DBE.因为∠ABC＝∠DEB＝90°(直立即为垂直)，所以△ABC∽△DEB，有ABDE＝BCBE，DE＝AB·BEBC.►知识点二利用标杆来测量旗杆高度6利用相似三角形测高[步骤](1)构造相似三角形，如图4－6－4所示．6利用相似三角形测高(2)测量数据：AB(人眼距地面的高度)，CD(标杆高)，BD(人距标杆的距离)，DF(标杆距旗杆的距离)；待测数据：EF(旗杆高度)．(3)计算理由：因为CD∥EF(均与水平面垂直)，所以∠AGC＝∠AHE，∠ACG＝∠AEH.所以△AGC∽△AHE，所以AGAH＝CGEH.又AG＝BD，GC＝CD－AB，AH＝AG＋GH，求出EH.所以EF＝EH＋HF＝EH＋AB.►知识点三利用镜子反射来测量旗杆高度6利用相似三角形测高[明确]平面镜反射原理：入射角等于反射角．[步骤](1)构造相似三角形，如图4－6－5所示．(2)测量数据：AB(人眼距地面的高度)，BE(人距镜子的距离)，ED(镜子距旗杆的距离)；待测数据：CD(旗杆高度)．(3)计算理由：∠ABE＝∠CDE＝90°(垂直地面)，∠AEB＝∠CED(光的反射原理)，所以△ABE∽△CDE，有ABCD＝BEDE，CD＝AB·DEBE.6利用相似三角形测高重难互动探究探究问题一利用影长测物高6利用相似三角形测高例1某同学的身高为1.66m，测得他在地面上的影长为2.49m，如果这时测得操场上旗杆的影长为42.3m，那么该旗杆的高度是多少米？[解析]同一时刻的光线应是平行的，人和旗杆都与地面垂直，因此可以通过相似三角形求出旗杆的高度．解：如图4－6－6所示，用AC表示人的身高，BC表示人的影长，A′C′表示旗杆的高度，B′C′表示旗杆的影长，由题意得AC＝1.66m，BC＝2.49m，B′C′＝42.3m，设A′C′＝x.由△ABC∽△A′B′C′，∴ACA′C′＝BCB′C′，即1.66x＝2.4942.3，解得x＝28.2.所以该旗杆的高度是28.2m.6利用相似三角形测高6利用相似三角形测高[归纳总结]同一时刻，对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的影长之比等于它们的高度之比．6利用相似三角形测高探究问题二利用标杆测物高例2如图4－6－7所示，王刚同学所在的学习小组欲测量校园里一棵大树的高度，他们选王刚作为观测者，并在王刚与大树之间的地面上直立一根高为2m的标杆CD，然后，王刚开始调整自己的位置，当他看到标杆的顶端C与树的顶端E重合时，就在该位置停止不动，这时其他同学通过测量，发现王刚的脚离标杆底部的距离为1m，离大树底部的距离为9m，王刚的眼睛离地面的高度为1.5m，那么大树EF的高为多少？6利用相似三角形测高解：如图4－6－7所示，作AH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，由题意得AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，故四边形ABFH、四边形DGHF都是矩形，所以AB＝GD＝HF，BF＝AH，BD＝AG，CD∥EF，所以∠AGC＝∠AHE＝90°.又因为∠CAG＝∠EAH，所以△ACG∽△AEH，所以AGAH＝CGEH，即19＝2－1.5EH，所以EH＝4.5，EH＋HF＝4.5＋1.5＝6(m)．所以大树EF的高为6m.6利用相似三角形测高6利用相似三角形测高[归纳总结]解决这类问题，先把实际问题转化为数学问题，找出两个相似的三角形，利用相似三角形的对应边成比例列出比例式，求出某条线段的长度，进而再求所要求的物体的高度．6利用相似三角形测高探究问题三利用镜子的反射测物高例3小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图4－6－8所示，在水平地面上E处放一面平面镜，其与教学大楼的距离EA＝21米，当她与镜子的距离CE＝2.5米时，刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知她眼睛距地面的高度DC＝1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？6利用相似三角形测高[解析]根据入射角等于反射角，先说明Rt△ABE∽Rt△CDE，再根据已知数据求出AB.解：由题意可知∠BEF＝∠DEF，∠AEF＝∠CEF，所以∠BEA＝∠DEC.AB⊥ACCD⊥AC⇒∠BAE＝∠DCE＝90°∠BEA＝∠DEC⇒△BAE∽△DCE⇒AEAB＝CEDCAE＝21，CE＝2.5，DC＝1.6⇒AB＝13.44(米)．所以教学大楼的高度AB是13.44米．