4.平面简谐行波

结构框图：平面简谐行波特征量波函数能量多普勒效应*电磁波*声波波的干涉第十三章波的产生和传播波动的特点：（1）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。（2）后面质点重复前面质点的振动状态，有位相落后。（3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。（4）振动状态、波形、能量向前传播。波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力将振动传播开去，从而形成机械波。§13.1平面简谐行波一.平面简谐行波波源及介质中各质点均作谐振动简谐振动简谐波一有关机械波的基本概念1.机械波：机械振动在介质中的传播过程称为机械波A.前提条件：存在波源；存在传播振动的弹性介质B.波动产生的物理机制：波是振动质点带动邻近质点振动，由近及远向外传递振动的结果；是振动的向外传递，不是介质质点自身向外运动的结果。波动(wave)(或行波)是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。纵波：振动方向与波的传播方向平行的波，称为纵波2.机械波的种类：纵波和横波纵波依靠介质纵向的弹性使振动由近及远向外传播。纵波可在固体、液体、气体中传播横波的特征是有凹凸的波峰、波谷。横波依靠介质切向的弹性使振动由近及远向外传播横波：振动方向与传播方向垂直的波称为横波横波只能在固体中传播。纵波的特征是有稀密相间的不同介质区域。二波动过程的描述描述波的空间周期性1k空间频率描述波动的时间周期性T1时间频率描述波动性的几个物理量(2).频率()：单位时间内给定的完整波的个数。周期(T)：传递一个完整波所需的时间。或：频率的倒数(1).波长()：沿波传播直线上两个相邻同相点（相位差为2π）之间的距离。一个波长范围内包含了一个“完整的波”，即包含了质点振动的各种可能振动步调(相位)波的传播速度等于振动的相位传播速度(3)单位时间波向外传播完整波数对应的距离u波速时间周期性空间周期性在一个周期内，某一个确定的振动状态（相位）在空间正好传播一个波长。振动相位传播的速度：Tuu注意：相位传播速度：在各向同性介质中为常数质点振动速度:)sin(dd0tAtyvuv二者在同一直线上：纵波二者互相垂直：横波波速由介质的性质决定：介质密度弹性模量u教材第46页固体：TuGuYu弦上波横波纵波流体：Bu纵波波动性的几何描述波线：由波源出发，沿波传播方向的线，其上任一点切线方向为该点波传播方向。波面：某时刻介质中同相点的集合。（球面波,柱面波,平面波...）波前：传在最前面的波面在各向同性均匀介质中，波线为直线，波线与波面垂直波面波线波面波线波动性的数学描述——平面简谐波的波函数波源及介质中各质点均作谐振动简谐振动简谐波最基本、最简单、最重要的是平面简谐波！简谐波是单一频率的理想化的波，它在空间和时间上都是无限重复变化着的；任何实际的波与之有着极大的区别，但它总可以看成是多个不同频率和振幅的简谐波的叠加。三、波形曲线思考：对纵波，波形曲线是不是实际波形？波形曲线如何反映纵波传播过程中介质质点的疏密情况？疏部中心、密部中心各在何处？对横波：直观给出波峰、波谷位置，该时刻波形2xO描述某时刻，波线上各点位移的分布(广义)注意：波形曲线与振动曲线比较(见下页表)xuxO密部中心疏部中心形变最大形变为零振动曲线波形曲线图形研究对象物理意义特征某质点位移随时间变化规律某时刻，波线上各质点位移随位置变化规律对确定质点曲线形状一定曲线形状随t向前平移v由振动曲线可知某时刻方向参看下一时刻初相周期T.振幅A0由波形曲线可知该时刻各质点位移只有t=0时刻波形才能提供初相波长,振幅A某质点方向参看前一质点vAyxPt0vuoAytPt0Tvo建立波函数的依据波的空间、时间周期性沿波传播方向各质元振动状态(相位)相继落后（滞后效应）讨论一维情况，平面简谐行波）的数学形式、（建立txΨΨ四、波函数（波动方程的积分形式））tzyxΨΨ,,,(振动量随时间、空间的变化规律已知：波线上任一点O的振动方程波速u,向右传播)cos(0tAΨo求：该平面简谐波波函数),(txΨΨ即)()(0ttΨtΨp])(cos[0uxtA])(cos[),(0uxtAtxΨ(1)解：以参考点O为坐标原点，波速u的方向为+x,建立一维坐标。设P为波线上任意一点，坐标x已知坐标原点振动方程)cos(00tAΨuOP(x)x方法1O点的振动状态传到P所需时间uxt时刻相位相同点（点相位与时刻)ttOPt由于2uuT(1)、(2)是一致的)2cos(0xtAΨp即)2cos(),(0xtAtxΨ(2)2，相位落后波线上每间隔P点相位比O落后2x方法2uOP(x)x•平面简谐波波函数的数学形式和物理意义])(cos[),(0uxtAtxΨ)2cos(0xtA])(2cos[0xTtA])(2cos[0xutA])(cos[)(),(000uxtAtΨtxΨ1)当x给定(x=x0)时x0处质点在不同时刻的位移，即振动方程称为波数，表示在2米内所包含的完整波的数目。π2k波函数表示了给定时刻Ox轴上各质点的位移分布情况，即t0时刻的波形曲线方程])(cos[)(),(000uxtAxΨtxΨ2)当t给定(t=t0)时对应跑动的波形3)当x、t均变化时(x,t)即是振动量随时间、空间的变化规律波函数表示了所有质点的位移随时间变化的整体情况。)2cos(])(cos[),(00xtAuxtAtxΨ建立向-x方向传播的简谐行波波函数以参考点为原点)cos(00tAΨP相位比O超前ttΨtΨP0练习1uxpo任意点比参考点晚振动，减去传播时间；任意点比参考点早振动，加上传播时间。“-”沿正向x“+”沿负向x])(cos[),(0uxtAtxΨ练习2移动坐标原点后如何建立波函数（即参考点不作为坐标原点）已知：)cos(tAΨCxu沿波速m8,m5BCCOOC求:u)m(xBOAO558C分别以O、O为坐标原点建立波函数，并写出B点的振动方程。（1）以O为坐标原点P离参考点C距离5xx])5(cos[])(cos[uxtAuxtAΨ代入将3Bx])8(cos[])53(cos[utAutAΨB解:C为参考点：)cos(tAΨC，设P为波线上任意一点u)m(xBOAO558C代入将13Bx])8(cos[])513(cos[utAutAΨB原点不同时，波函数形式变化，但波线上确定点振动方程不变。])5(cos[])(cos[uxtAuxtAΨP离参考点距离5xx(2)以O为坐标原点u)m(xBOAO558C代入原波函数:)]050(44[cos040'txΨ]2)52(10cos[040xt原函数)52(10cos040xtΨ时间变换，移动计时起点——改变初相更换计时起点后如何建立波函数已知:)104(cos040txΨ求：将计时起点延后0.05s情况下的波函数练习3解：设新的时间坐标为tt与t的关系t=t–0.05,即t=t+0.05)(txy、已知平面简谐练习4波在t=2s时波形,求波函数x(m)y(m)AO/2u已知：,,uA传、波向x波形s2t求：)(txy、解：时间变换：2tt令时刻波形该波形为0t思考：写原点振动方程原点处00y00v得20将代入2tt]2)2(2cos[uxtuAy（SI）得原点振动方程)22cos(0tuAy]2)(2cos[uxtuAy波函数：Aox0,0txu由波形曲线和振动曲线建立波函数练习5已知：平面简谐波t=0时波形和波线上x=1m处P点振动曲线求：波函数(1)以O为参考点(2)以P为参考点t(s)P(m)0.2O0.20.1x(m)(m)0.2O21Pt=0解：由图可知：m20Am2s20T则)s(1021T)sm(101Tu（1）以O为参考点，先写O的振动方程P在t=0时刻过平衡位置向负向运动——波向左传t(s)P(m)0.2O0.20.1x(m)(m)0.2O21Pt=0O在t=0时刻过平衡位置向正向运动230)2310cos(2.00tΨ]23)10(10cos[2.0xtΨ波向-x方向传播t(s)P(m)0.2O0.20.1x(m)(m)0.2O21Pt=0（2）以P为参考点，先写P的振动方程P的初相2p)210cos(20tΨp波向-x方向传播]2)101(10cos[20xtΨ]2)10(10cos[20xtt(s)P(m)0.2O0.20.1x(m)(m)0.2O21Pt=0五.波动方程的微分形式1.一维情况由])(cos[uxtAΨ])(sin[uxtuAxΨ])(cos[2222uxtuAxΨ得])(sin[uxtAtΨ])(cos[222uxtAtΨ222221tΨuxΨ2.三维情况2222222221tΨuzΨyΨxΨ线性微分方程拉普拉斯算符2222222zyx波动微分方程22221tΨuΨ