高等数学二重积分详解

一直角坐标系中的计算方法计算二重积分的基本思想：化为两次定积分oxyabcd分别用平行于x轴和y轴的直线对区域进行分割，如图。ΔxΔyΔσ可见，除边缘外，其余均为矩形，其面积为yx可以证明：DDdxdyyxfdyxf),(),(其中dxdy称为面积元素。利用二重积分的几何意义化二重积分为二次积分（1）当积分区域为以下均设函数且在D上连续。0),(yxf)()(,21xyxbxa如图所示：oxyab)(1xy)(2xyD)(1xy)(2xyoxyabzD),(yxfz相应的曲顶柱体如右图。在区间[a，b]内任取一点x，过此点作与yoz面平行的平面，它与曲顶柱体相交得到一个一个曲边梯形：底为)()(21xyx高为),(yxfzx其面积为)()(21),()(xxdyyxfxS所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式，得baxxbadxdyyxfdxxSV)()(21]),([)()(1xy)(2xyoxyabzD),(yxfz)()()()(2121),(]),([),(xxbabaxxDdyyxfdxdxdyyxfdxdyyxf于是，得二重积分的计算公式：类似地，若积分区域为)()(,:21yxydycD如右图所示，oxyD)(1yx)(2yxcd则二重积分的计算公式为)()()()(2121),(]),([),(xxbabaxxDdyyxfdxdxdyyxfdxdyyxf总结：二重积分的计算就是转化为二次定积分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关键。这主要由积分区域D所确定。所谓先积线，后积点以第一种情况为例加以说明：如图：oxyab)(1xy)(2xyDx区间[a,b]是x的取值范围。在此区间内任取一点x，过该点自下而上作一条平行于y轴的射线，先穿过的边界)(1xy是y的积分下限，后穿过的边界是y的积分上限。)(2xy第二种情形可同理讨论。对于其他情形，都可化为这两种情况加以转化。如下图：oxyD1D2D3oxyD1D3D2例1计算DydxdyxI,2D为直线与抛物线xy2xy所围的区域。不妨用两种情形分别进行计算，加以比较。法一先y后x。解：积分区域D如图。1oxyD将积分区域投影到x轴上，得到x的范围[0，1].在[0，1]上任取一点x，过该点作一条平行于y轴的射线，x先穿过的边界作y的积分下限，2xy后穿过的边界作y的上xy限，这样就有xyxxD2,10:所以10106422210351)(21]21[22dxxxyxydyxdxIxxxx法二oxyD将积分区域投影到y轴上，得到y的范围[0，1].1在[0，1]上任取一点y，过该点作一条平行于x轴的射线，y则先穿过的边界为x的下限，yx后穿过的边界yx为x的上限，于是.,10:yxyyD所以10104253210351)(31]31[dyyydyyxydxxdyIyyyy小结：在二重积分的计算中，有时积分次序的选择显得相当重要，因而具体计算时，应注意观察积分区域的特征和被积函数的特点，选择恰当的积分次序，以便使计算尽可能简单。例2将化成二次积分，DdyxfI),(其中D由xyxy2,42围成。解：解方程组xyxy242得这条直线和抛物线的交点为(8,4),(2,-2)，如右图。oxyxy224xy)2,2()4,8(1）先对y后对x积分：8得xyxxxyxxD24,8222,20:及所以xxxxdyyxfdxdyyxfdxI24822220),(),(oxyxy224xy)2,2()4,8(2）先对x后对y积分：得42,42:2yxyyD如图。-24所以DdyxfI),(42422),(yydxyxfdy小结：显然1）较2）麻烦。例3计算其中D由围成。,22DydxdyexI,0xxyy及1解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)，(0,0)，所围区域如右。oxy1xy1y先对x后对y积分：dxexdyIyy021021003]31[2dyexyyedyeyy3161311032注意：若先对y后对x积分：12102xydyexdxI的原函数无法用初等函数表示出来，因而此二重积分不能计算出来。2ye例4交换下列二重积分的积分次序：2202022002),(),(xxdyyxfdxdyyxfdxI解：这是先对y后对x的积分，积分区域为220,20220,02:xyxxyxD及可知积分区域由22,22,0xyxyy所围成，如下图：oxy12-2故改变积分次序后得yydxyxfdyI222210),(二、极坐标系中的计算方法1直角坐标系中的二重积分化为极坐标系中的二重积分如图所示的极坐标系中的积分区域D，Ao过极点O引射线和以极点为圆心的同心圆，它们将区域D分成许多小区域，除去含有边界点的小区域，其余小区域i的面积为：Aoiiiriirrrirriiiiiiiiirrr2221)(21iiiirrr)2(21iiirr在圆周上任取一点，irr),(iirir),(iir其中,iiii设其直角坐标为，),(ii它们的关系为iiiiiirrsin,cos所以iiiiiiiniiiirrrrff)sin,cos(lim),(lim010因此DDDrdrdrrfdxdyyxfdyxf)sin,cos(),(),(此公式可将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分，其中为极坐标系中的面积元素。rdrd2化为二次积分一般均是先对r积分再对θ积分，因而主要是确定r、θ的积分上下限，分情况讨论：（1）极点在区域D外，如图：oAD)(1r)(2r)()(,:21rD则)()(21)sin,cos()sin,cos(rdrrrfdrdrdrrfD（2）极点在区域D的边界上，如图。oAD)(r)(0,:rD则)(0)sin,cos()sin,cos(rdrrrfdrdrdrrfD（1）极点在区域D内，如图：oAθ)(r)(0,20:rD则)(020)sin,cos()sin,cos(rdrrrfdrdrdrrfD例5计算，Ddyx)(22其中D：.4122yx解：积分区域是如图所示的环域，用极坐标计算方便。oxy12.21,20:rD因而2154152)(21320322drrddrdrdyxDD例6计算，其中DdyxI224.2:22xyxD解：积分区域是如图所示的圆域。.cos20,22:rD则cos2roxyDθ2DrdrdrI24cos202224rdrrddr22cos20232])4(31[.38)sin1(38223d一般地，当积分区域为圆域、环域或它们的一部分，以及被积函数中含有时，多采用极坐标系下的计算会比较方便。22yx