小学奥数-几何五大模型(相似模型)

模型四相似三角形模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型GFEABCDABCDEFG①ADAEDEAFABACBCAG；②22:ADEABCSSAFAG△△：。所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。【例1】如图，已知在平行四边形ABCD中，16AB，10AD，4BE，那么FC的长度是多少？FEDCBA【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD，所以::4:161:4BFFCBECD，所以410814FC．任意四边形、梯形与相似模型【例2】如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为15厘米，AC被分为60等份。如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE平行AB)，那么小玻璃管口径DE是多大？6050403020100EADCB【解析】有一个金字塔模型，所以::DEABDCAC，:1540:60DE，所以10DE厘米。【例3】如图，DE平行BC，若:2:3ADDB，那么:ADEECBSS△△________。AEDCB【解析】根据金字塔模型:::2:(23)2:5ADABAEACDEBC，22:2:54:25ADEABCSS△△，设4ADES△份，则25ABCS△份，255315BECS△份，所以:4:15ADEECBSS△△。【例4】如图，ABC△中，DE，FG，BC互相平行，ADDFFB，则::ADEDEGFFGCBSSS△四边形四边形。EGFADCB【解析】设1ADES△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADEAFGSSADAF△△，22::1:9ADEABCSSADAB△△，因此4AFGS△份，9ABCS△份，进而有3DEGFS四边形份，5FGCBS四边形份，所以::1:3:5ADEDEGFFGCBSSS△四边形四边形【巩固】如图，DE平行BC，且2AD，5AB，4AE，求AC的长。AEDCB【解析】由金字塔模型得:::2:5ADABAEACDEBC，所以42510AC【巩固】如图，ABC△中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，ADDFFMMPPB，则::::ADEDEGFFGNMMNQPPQCBSSSSS△四边形四边形四边形四边形。QEGNMFPADCB【解析】设1ADES△份，22::1:4ADEAFGSSADAF△△，因此4AFGS△份，进而有3DEGFS四边形份，同理有5FGNMS四边形份，7MNQPS四边形份，9PQCBS四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADEDEGFFGNMMNQPPQCBSSSSS△四边形四边形四边形四边形【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列。【例5】已知ABC△中，DE平行BC，若:2:3ADDB，且DBCES梯形比ADES△大28.5cm，求ABCS△。AEDCB【解析】根据金字塔模型::2:(23)2:5ADABDEBC，22:2:54:25ADEABCSS△△，设4ADES△份，则25ABCS△份，25421DBCES梯形份，DBCES梯形比ADES△大17份，恰好是28.5cm，所以212.5cmABCS△【例6】如图：MN平行BC，:4:9MPNBCPSS△△，4cmAM，求BM的长度NMPACB【解析】在沙漏模型中，因为:4:9MPNBCPSS△△，所以:2:3MNBC，在金字塔模型中有：::2:3AMABMNBC，因为4cmAM，4236ABcm，所以642cmBM【巩固】如图，已知DE平行BC，:3:2BOEO，那么:ADAB________。OEDCBA【解析】由沙漏模型得::3:2BOEOBCDE，再由金字塔模型得::2:3ADABDEBC．【例7】如图，ABC中，14AEAB，14ADAC，ED与BC平行，EOD的面积是1平方厘米。那么AED的面积是平方厘米。ABCDEO【解析】因为14AEAB，14ADAC，ED与BC平行，根据相似模型可知:1:4EDBC，:1:4EOOC，44CODEODSS平方厘米，则415CDES平方厘米，又因为::1:3AEDCDESSADDC，所以15533AEDS(平方厘米)．【例8】在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，CDO的面积是ABO面积的几倍？ABCDOEFABCDO【解析】连接BC，易知OA∥EF，根据相似三角形性质，可知::OBODAEAD，且::1:2OABEDADE，所以CDO的面积等于CBO的面积；由1124OABEAC可得3COOA，所以3CDOCBOABOSSS，即CDO的面积是ABO面积的3倍。【例9】如图，线段AB与BC垂直，已知4ADEC，6BDBE，那么图中阴影部分面积是多少？EABCDEABCDOEABCDO【解析】解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．作辅助线BO，则图形关于BO对称，有ADOCEOSS，DBOEBOSS，且:4:62:3ADODBOSS．设ADO的面积为2份，则DBO的面积为3份，直角三角形ABE的面积为8份．因为610230ABES，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为308415．解法二：连接DE、AC．由于4ADEC，6BDBE，所以DE∥AC，根据相似三角形性质，可知::6:103:5DEACBDBA，根据梯形蝴蝶定理，22:::3:35:35:59:15:15:25DOEDOACOECOASSSS，所以:1515:915152515:32ADECSS阴影梯形，即1532ADECSS阴影梯形；又11101066=3222ADECS梯形，所以151532ADECSS阴影梯形．【例10】(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形ABCD的面积是16，:3:1BGGC，则四边形EFGH的面积________．第3题HGFEDCBA【解析】因为FGHE为平行四边形，所以//ECAG，所以AGCE为平行四边形．:3:1BGGC，那么:1:4GCBC，所以1116444AGCEABCDSS．又AEGC，所以::1:3AEBGGCBG，根据沙漏模型，::3:1FGAFBGAE，所以334344FGHEAGCESS．【例11】已知三角形ABC的面积为a，:2:1AFFC，E是BD的中点，且EF∥BC，交CD于G，求阴影部分的面积．ABCDEGF【解析】已知:2:1AFFC，且EF∥BC，利用相似三角形性质可知::2:3EFBCAFAC，所以23EFBC，且:4:9AEFABCSS．又因为E是BD的中点，所以EG是三角形DBC的中位线，那么12EGBC，12::3:423EGEF，所以:1:4GFEF，可得:1:8CFGAFESS，所以:1:18CFGABCSS，那么18CFGaS．【例12】已知正方形ABCD，过C的直线分别交AB、AD的延长线于点E、F，且10cmAE，15cmAF，求正方形ABCD的边长．FAEDCB【解析】方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有::BCAFCEEF，::DCAECFEF，设正方形的边长为cmx，所以有1BCDCCECFAFAEEFEF，即11510xx，解得6x，所以正方形的边长为6cm．方法二：或根据一个金字塔列方程即151015xx，解得6x【例13】如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边120BC毫米，高80AD毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？HGNPADCB【解析】观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有PNAPBCAB，PHBPADAB，设正方形的边长为x毫米，PNPHBCAD1APBPABAB，即112080xx，解得48x，即正方形的边长为48毫米．【巩固】如图，在ABC△中，有长方形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH是ABC△边BC的高，交DE于M，:1:2DGDE，12BC厘米，8AH厘米，求长方形的长和宽．EHGMFADCB【解析】观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以DEADBCAB，DGBDAHAB，所以有1DEDGADBDBCAHABAB，设DGx，则2DEx，所以有21128xx，解得247x，4827x，因此长方形的长和宽分别是487厘米，247厘米．【例14】图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？ABCDEFGNMABCDEFG【解析】根据题中条件，可以直接判断出EF与DC平行，从而三角形GEF与三角形GDC相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题．做GM垂直DC于M，交AB于N．因为EF∥DC，所以三角形GEF与三角形GDC相似，且相似比为:4:121:3EFDC，所以:1:3GNGM，又因为12MNGMGN，所以18GMcm，所以三角形GDC的面积为2112181082cm．【例15】如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？BMNFOE【解析】根据相似三角形的对应边成比例有：31223NF；12312EM，则59NF，53EM，19512225330S阴【例16】(2008年101中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是．HGFEDCBA【解析】设大、小正方形的边长分别为m厘米、n厘米(mn)，则2252mn，所以8m．若5m，则222525052mn，不合题意，所以m只能为6或7．检验可知只有6m、4n满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米．根据相似三角形性质，::6:43:2BGGFABFE，而6BGGF，得3.6BG(厘米)，所以阴影部分的面积为：163.610.82(平方厘米)．【例17】如图，O是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？34OFEDCBA34OFEDCBA【解析】连接OB,面积为4的三角形占了矩形面积的14，所以431OEBS△,所以:1:3OEEA,所以:5:8CECA,由三角形相似可得阴影部分面积为25258()88．【例18】已知长方形ABCD的面积为70厘米，E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，求阴影EHO△的面积是多少厘米？HOGFEDCBAABCDEFGOH【解析】因为E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成6份的话，那么3EDAD