龙格库塔法推导

2020/4/61得到高精度方法的一个直接想法是利用Taylor展开假设式y'=f(x,y)(a≤x≤b)中的f(x,y)充分光滑,将y(xi+1)在xi点作Taylor展开，若取右端不同的有限项作为y(xi+1)的近似值，就可得到计算y(xi+1)的各种不同截断误差的数值公式。例如：取前两项可得到)()()()(21hOxyhxyxyiii)(),()())(,()(22hOyxhfyhOxyxhfxyiiiiii9.4龙格－库塔方法§2020/4/62)(21!!2PiPiiiiyPhyhyhyy其中ffffffffffffyfffyxfyfyyyxyyxyxxxyxiyxxiiii22)(2)(),(,P阶泰勒方法若取前三项，可得到截断误差为O(h3)的公式)()(2)()()(321hOxyhxyhxyxyiiii)(),(),(),(2),(32hOyxfyxfyxfhyxhfyiiyiiiixiii类似地，若取前P+1项作为y(xi+1)的近似值，便得到2020/4/63显然p=1时,yi+1=yi+hf(xi,yi)它即为我们熟悉的Euler方法。当p≥2时,要利用泰勒方法就需要计算f(x,y)的高阶微商。这个计算量是很大的，尤其当f(x,y)较复杂时，其高阶导数会很复杂。因此，利用泰勒公式构造高阶公式是不实用的。但是泰勒级数展开法的基本思想是许多数值方法的基础。R-K方法不是直接使用Taylor级数,而是利用它的思想2020/4/649.4.1龙格-库塔(R-K)法的基本思想Euler公式可改写成),(1iiiiyxhfKKyy则yi+1的表达式与y(xi+1)的Taylor展开式的前两项完全相同,即局部截断误差为O(h2)。Runge-Kutta方法是一种高精度的单步法,简称R-K法2020/4/65同理，改进Euler公式可改写成),(),(2121121211KyhxhfKyxhfKKKyyiiiiii上述两组公式在形式上共同点:都是用f(x,y)在某些点上值的线性组合得出y(xi+1)的近似值yi+1,且增加计算的次数f(x,y)的次数,可提高截断误差的阶。如欧拉法:每步计算一次f(x,y)的值,为一阶方法。改进欧拉法需计算两次f(x,y)的值，为二阶方法。局部截断误差为O(h3)2020/4/66于是可考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式，构造时要求近似公式在(xi,yi)处的Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式的前面几项重合，从而使近似公式达到所需要的阶数。既避免求高阶导数,又提高了计算方法精度的阶数。或者说,在[xi,xi+1]这一步内多计算几个点的斜率值，然后将其进行加权平均作为平均斜率，则可构造出更高精度的计算格式，这就是龙格—库塔（Runge-Kutta）法的基本思想。),(),(),(11,1112122122111ppppipipiiiippiiKbKbyhaxhfKKbyhaxhfKyxhfKKcKcKcyy一般龙格－库塔方法的形式为2020/4/67其中ai,bij,ci为待定参数，要求上式yi+1在点(xi,yi)处作Tailor展开，通过相同项的系数确定参数。称为P阶龙格－库塔方法。8Runge-Kutta方法的推导思想0)(),(yaybxayxfy对于常微分方程的初值问题的解y=y(x)，在区间[xi,xi+1]上使用微分中值定理，有)()()(1iiiyhxyxy即))(()()(11iiiiixxyxyxy),(1iiixx其中2020/4/69上的平均斜率在区间可以认为是],[)(1iixxxyyKKxyxyii)()(1引入记号)(,)(iiiyhfyhKKxxxyii上平均斜率的近似值间在区出只要使用适当的方法求],[)(1就可得到相应的Runge-Kutta方法ix1ixxy)(xyyKyyii1K2020/4/610ix1ixxy)(xyy如下图Kxxxyxxyiii上的平均斜率在处的斜率作为在如果以],[)()(1即则上式化为),(1iiiiyxhfyy)(ixyhK)](,[iixyxhf),(iiyxhf即Euler方法Euler方法也称为一阶Runge-Kutta方法KK2020/4/69.4.2二阶龙格—库塔法在[xi,xi+1]上取两点xi和xi+a2=xi+a2h,以该两点处的斜率值K1和K2的加权平均(或称为线性组合)来求取平均斜率k*的近似值K，即2211KcKcK式中:K1为xi点处的切线斜率值K1=hf(xi,yi)=hy'(xi)K2为xi+a2h点处的切线斜率值,比照改进的欧拉法,将xi+a2视为xi+1，即可得),(12122KbyhaxhfKii2020/4/611确定系数c1、c2、a2、b21，可得到有2阶精度的算法格式2020/4/612因此Kxyxyii)()(1)()(2211KcKcxyi将y(xi+1)在x=xi处进行Taylor展开：)()(!2)()()(321hOxyhxyhxyxyiiii)(!2),()(32hOfffhyxhfxyyxiii将在x=xi处进行Taylor展开：),()(121222KbyhaxhfhaxyhKiii2020/4/613)(),(212122hOfKbfhayxfhKyxiiK1=hf(xi,yi))(),(3212hOfhfbfhayxfhyxii)(22111KcKcyyii)(),(32122hOfhfbfhayxfhcyxii),()(1iiiyxhfcxy),()()(21iiiyxhfccxy)(32221222hOffhcbfhcayx2020/4/61421,21,12212221cbcacc这里有4个未知数，3个方程。存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。令11)(iiyxy对应项的系数相等，得到2020/4/615注意到，就是二阶龙格-库塔公式，也就是改进的欧拉法。21,121212ccba),(),(21121211KyhxhfKyxhfKKKyyiiiiiiix1ixxy)(xyyK1K2K因此，凡满足条件式有一簇形如上式的计算格式，这些格式统称为二阶龙格—库塔格式。因此改进的欧拉格式是众多的二阶龙格—库塔法中的一种特殊格式。若取，就是另一种形式的二阶龙格-库塔公式。1,0,2121212ccba2020/4/616)21,21(),(12121KyhxhfKyxhfKKyyiiiiii此计算公式称为变形的二阶龙格—库塔法。式中为区间的中点。也称中点公式。hxi211,iixxQ:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？2020/4/617二级R-K方法是显式单步式,每前进一步需要计算两个函数值。由上面的讨论可知,适当选择四个参数c1,c2,a2,b21，可使每步计算两次函数值的二阶R-K方法达到二阶精度。能否在计算函数值次数不变的情况下,通过选择不同的参数值,使得二阶R-K方法的精度再提高呢?答案是否定的！无论四个参数怎样选择,都不能使公式的局部截断误差提高到三阶。这说明每一步计算两个函数值的二阶R-K方法最高阶为二阶。若要获得更高阶得数值方法,就必须增加计算函数值的次数。),(),(),(232131331212213322111KbKbyhaxhfKKbyhaxhfKyxhfKKcKcKcyyiiiiiiii9.4.3三阶龙格—库塔法2020/4/618为进一步提高精度，在区间[xi,xi+1]上除两点xi和xi+a2=xi+a2h,以外，再增加一点xi+a3=xi+a3h，用这三点处的斜率值K1、K2和K3的加权平均得出平均斜率K*的近似值K，这时计算格式具有形式:ix3aix2aixxy)(xyyK1K2K3K2020/4/619同理推导二阶公式，将y(xi+1)和yi+1在x=xi处进行Taylor展开，使局部截断误差达到O(h4)，使对应项的系数相等，得到系数方程组：61,6131)(31)(,3121)(,21133221232232323122213231332212323222332312213322321cbbcbacbbcbbbcacbacacacbbcbcacaccc参数的选择不唯一，从而构成一类不同的三阶R-K公式，下面给出一种常用的三阶R-K公式，形似simpson公式：)2,()21,2(),()4(612131213211KKyhxhfKKyhxhfKyxhfKKKKyyiiiiiiii2020/4/6202020/4/6219.4.4四阶(经典)龙格—库塔法如果需要再提高精度，用类似上述的处理方法，只需在区间[xi,xi+1]上用四个点处的斜率加权平均作为平均斜率K*的近似值，构成一系列四阶龙格—库塔公式。具有四阶精度，即局部截断误差是O(h5)。推导过程与前面类似，由于过程复杂，这里从略，只介绍最常用的一种四阶经典龙格—库塔公式。2020/4/622K1=hf(xi,yi)K2=hf(xi+a2h,yi+b21K1)K3=hf(xi+a3h,yi+b31K1+b32K2)K4=hf(xi+a4h,yi+b41K1+b42K2+b43K3)其中c1、c2、c3、c4、a2、a3、a4、b21、b31、b32、b41、b42、b43均为待定系数。这里K1、K2、K3、K4为四个不同点上的函数值，分别设其为设yi+1=yi+c1K1+c2K2+c3K3+c4K42020/4/623类似于前面的讨论，把K2、K3、K4分别在xi点展成h的幂级数，代入线性组合式中，将得到的公式与y(xi+1)在xi点上的泰勒展开式比较，使其两式右端直到h4的系数相等，经过较复杂的解方程过程便可得到关于ci，ai，bij的一组特解a2=a3=b21=b32=1/2b31=b41=b42=0a4=b43=1c1=c4=1/6c2=c3=1/324四阶(经典)Runge-Kutta方法),()21,2()21,2(),()22(61342312143211KyhxhfKKyhxhfKKyhxhfKyxhfKKKKKyyiiiiiiiiii2020/4/625例1.使用高阶R-K方法计算初值问题1)0(5.002yxyy.1.0h取解:(1)使用三阶R-K方法时0i1.0201hyK1103.0)21(2102KyhK1256.0)2(22103KKyhK1111.1)4(6132101KKKyy2020/4/626其余结果如下:(2)如果使用四阶R-K方法时0i1.0201hyK1103.0)21(2102KyhKixik1k2k3yi1.00000.10000.10000.11030.12561.11112.00000.20000.12350.13760.15951.24993.00000.30000.15620.17640.20921.42844.00000.40000.20400.23420