逻辑代数及其化简.ppt

交换率A+B=B+AAB=BA结合率A+(B+C)=(A+B)+CA(BC)=(AB)C分配率A(B+C)=AB+ACA+(BC)=(A+B)(A+C)吸收率A+AB=AA(A+B)=A0－1率A+1=1,A+O=AA·0=0,A·1=A互补率重叠率A+A=AA·A=A非非率反演率包含率1AAAABABACAABBCCAABBAABCABACBCABA0AA一、基本逻辑运算：与、或、非三种。二、复合逻辑运算：与非、或非、与或非、异或、同或五种三、逻辑代数的基本定律和规则1、逻辑函数间的相等2、逻辑代数的基本公式（1）、代入规则任何一个含变量A的等式中，如果将出现A的地方，都代之一个逻辑函数F，则等式仍然成立。例1：分配率A(B+C)=AB+AC令：C=EF代入公式A(B+EF)证:A(B+EF)用乘对加的分配率证明例2:BABAABCDBCDCD则：令：A=CD证：BCDBCDCDCDBCDCD)(代入规则之所以正确：是因为任何一个逻辑函数和任何一个逻辑变量一样，只有两种可能取值(0,1),所以可以将逻辑函数当作一个逻辑变量对待。=AB+AEF=AB+AEF☆有了代入规则，基本定律不受变量限制，扩大了基本公式的应用范围。（2）、反演规则：（摩根定理）目的：求原函数的反函数已知函数为F，将F中的所有“·”换为“＋”，“＋”换为“·”，0换为1，1换为0，原变量换为反变量，反变量换为原变量。得到的函数式就是原函数的反函数，或称为补函数。记作FCDBAFF求例1:已知解：由反演规则直接得出DCBAF)(由反演率得2、在运算过程中适当增加括号，以保证原函数的运算顺序不变。本例说明：1、由反演规则求反函数，比直接用反演率求反函数方便、简单。CDBADCBA)(CDBAF例2:已知EDCBAFEDCBAF解：利用反演规则直接写出注意：不属于单个变量上的反号保持不变。（3）、对偶规则：对偶式：已知函数为F，将F中的所有“·”换为“＋”，“＋”换为“·”，0换为1，1换为0，变量保持不变。得到的函数式就是原函数的对偶式F′。例：CBAFCBAF')1)((CABAF0'CABAFCBAFCBAF'F求首先了解什么是对偶式；对偶规则：如果两个函数F和G相等，那么它们各自的对偶式F′和G′也相等。例：F=A(B+C)由乘对加的分配率知：F´=A+BC由加对乘的分配率知:G´=(A+B)(A+C)G=AB+ACF=A(B+C)=AB+AC∴F=G∴F´=G´F´=A+BC=(A+B)(A+C)掌握对偶规则的目的：当证明某一等式相等后，根据对偶规则，其对偶式也相等。使证明的式子数目减少一半。起到事半功倍的效果。交换率A+B=B+AAB=BA结合率A+(B+C)=(A+B)+CA(BC)=(AB)C分配率A(B+C)=AB+ACA+(BC)=(A+B)(A+C)吸收率A+AB=AA(A+B)=A0－1率A+1=1,A+O=AA·0=0,A·1=A互补率重叠率A+A=AA·A=A非非率反演率包含率1AAAABABACAABBCCAABBAABCABACBCABA0AA目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的基本定律，得出一些常用公式。ABAABAABBABAAB1证：ABABA1BBBABAABABABAAABAA1证：ABBAA吸收律：（互补率）说明：两个乘积项相加时，若乘积项分别包含B和/B两个因子。而其余因子相同。则两项定能合并成一项，消去B和/B两个因子。说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好是另一乘积项的补（/A)，则该乘积项中的/A是多余的。吸收律：对偶式：对偶式：若两个乘积项中分别包含A和A两个因子，而这两个乘积项的其余因子组成第三个乘积项，则第三个乘积项是多余的。可消去CAABBCCAABBCAACAABBCCAABBCACAB11CAABCAABBCDECAABBCDEBCCAAB证：DEBCCAAB1CAABBCCAABCABAEDCBCABA包含律：推论：对偶式：BCAABCCAAB证：BACACAABBCCAABAABACA证右：CAABBCCAAB0BAACCABAA+BC=(A+B)(A+C)证：(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC=(A+AC+AB)+BC=A(1+C+B)+BC=A+BCA(B+C)=AB+AC交叉互换率：对偶式：加对乘的分配率：对偶式：常用逻辑函数表示方法有：1、逻辑真值表2、逻辑表达式3、逻辑图各种表示方法间的相互转换一、从真值表写出逻辑表达式例：已知一个奇偶判别函数的真值表（偶为1,奇为0)，试写出它的逻辑函数式。ABCY00000101001110010111011110000110BCACBACAB解：当ABC=011时，1BCA使乘积项当ABC=101时，1CBA使乘积项当ABC=110时，1CAB使乘积项因此，Y的逻辑函数应当等于这三个乘积项之和。CABCBABCAY4、工作波形图真值表的特点：①唯一性;②按自然二进制递增顺序排列（既不易遗漏，也不会重复）。③n个输入变量就有2n个不同的取值组合。通过以上例题可以总结出从真值表写出逻辑函数式的一般方法。1、找出真值表中使逻辑函数Y=1的输入变量取值组合。2、每组输入变量的取值组合对应一个乘积项，输入变量取值为1的写入原变量，取值为0的写入反变量。3、将取值为1的乘积项相加，即得到Y的逻辑函数式。二、从逻辑表达式列出真值表将输入变量的所有状态组合逐一代入逻辑式，求出函数值，列成表，即可得到真值表。例：已知函数CBACBAY求其对应真值表。ABC000001010011100101110111CBCBAY解：将三变量所有取值组合代入Y式中，将计算结果列表。010001001000000001011111&&111&&≥1≥1三、从逻辑表达式画出逻辑图用图形符号代替逻辑式中的运算符号，就可以画出逻辑图。例：已知逻辑函数,CCBACBAY画出对应逻辑图。解：将式中所有的与、或、非运算符号用逻辑符号代替，并根据运算优先顺序把这些逻辑符号连接起来，就得到Y的逻辑图。ABCABCCBACBCBACCBACBAY≥1≥1≥111ABY四、从逻辑图写出逻辑表达式从输入端到输出端逐级写出每个逻辑符号的逻辑式，就得到对应的逻辑表达式。例：已知逻辑图，试写出逻辑表达式。解：从输入A、B开始逐个写出每个逻辑符号输出端的逻辑式。ABBABABABABABAY))((BABABABABABCAAC,如：BCAAC,BCABC如：CBACB目的：为图解化简法打好基础。与项：逻辑变量间只进行乘运算的表达式称为与项。与－或表达式：与项和与项间只进行加运算的表达式称为与—或表达式。如:或项：逻辑变量间只进行或运算的表达式称为或项。或－与表达式：或项和或项间只进行乘运算的表达式称为或－与表达式。如:在介绍逻辑函数的标准形式之前，先介绍最小项和最大项的概念，然后介绍逻辑函数的“最小项之和”及“最大项之积”两种标准形式。几个概念：(1)定义：最小项是一个与项。(2)特点：n个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。称这个与项为最小项。n变量有2n个最小项。例如：在三变量A、B、C的最小项中：1、最小项输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1。当A=1、B=0、C=1时，乘积项ABC=1。如果将ABC的取值101看作一个二进制数，所对应的十进制数就是5。5一般将ABC这个最小项记做m。按照上述约定，作出三变量最小项编号表。原取1,反取0.最小项使最小项为1的变量取值对应十进制数编号ABC00000011010201131004101511061117CBACBACBABCACBACBACABABC0m1m2m3m4m5m6m7m（3）最小项的重要性质①在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。②所有最小项之和为1。1120niim③任意两个最小项的乘积为0。0jimmji④具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消去一对因子。ABCCABCBACBABCACBACBACBA证：ABBABABA1AA0)(CCBACBACBA证：相邻性：若两个最小项彼此只有一个因子不同，且互为反变量，则称这两个最小项具有相邻性。例：CBACBA＋BACCBA)(＋定理：任何逻辑函数F都可以用最小项之和的形式表示。而且这种形式是唯一的。1、真值表法：将逻辑函数先用真值表表示，然后再根据真值表写出最小项之和。例：将CABCCBAF表示为最小项之和的形式。解：由最小项特点知：n个变量都出现，BC缺变量A,所以F是一般与－或式，不是最小项之和的标准形式。列：F真值表：AC缺变量B,BC和AC不是最小项。00010010010000010000001101011000011101000011000111110101CBABCCAFABCCABCBABCACBAF76430mmmmmm7.6.4.3.0ABC由最小项性质①、知：每个最小项等于1的自变量取值是惟一的。那么：将F=1的输入变量组合相加即可。其输入变量组合中，1表示原变量,0表示反变量CABCCBAF2、摩根定律及配项法将逻辑函数反复利用摩根定律及配项法，将其表示为最小项之和的形式。例1：CABCCBAF解：CABBBCAACBAFCBACABBCAABCCBA46370mmmmmm7.6.4.3.0原取1反取0例2：将表示为最小项之和的形式。ABCBAABFABCBAABABCBAAB解：ABCBAABFABCBABACCABCBABACABABCBCACBA6735mmmmm7,6,5,3说明：全部由最小项相加构成的与-或表达式称为最小项表达式，是与-或表达式的标准形式。(都是最小项，不是全部最小项)。P1112(2)3(3，4)4(3，4)10(3)(1)定义：最大项是一个或项。(2)特点：n个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。称这个或项为最大项。n变量有2n个最大项。例如：在三变量A、B、C的最大项中：2、最大项输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值等于0。当A=1、B=0、C=1时，或项（A＋B＋C）=0。按照上述约定，作出三变量最大项编号表。如果将最大项为0的ABC取值视为一个二进制数，并以其对应的十进制数给出最大项编号，5则(A+B+C)可记做M。原取0,反取1。最大项使最大项为0的变量取值对应十进制数编号ABC00000011010201131004101511061117CBA＋＋CBA＋＋CBA＋＋CBA＋＋CBA＋＋CBA＋＋CBA＋＋CBA＋＋0M1M2M3M4M5M6M7M（3）最大项的重要性质①在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有一个最大项的值为0。1MMjiji②所有最大项之积为0③任意两个最大项之和为1。④只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。例：BACBACBA(4)、用最大项表示逻辑函数的