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用换元法与放缩法证明不等式一、换元法证不等式例1已知a,b∈R,a2+b2≤4.求证:|3a2-8ab-3b2|≤20.探究1有些不等式直接证明较为困难,但通过换元的思想方法可使问题便于研究.常见的换元是三角换元,用三角代换把问题转化为三角问题,利用三角函数的性质就可解决.根据实际情况,实施的代换方法有:①若x2+y2=a2(a>0),可设x=acosα,y=asinα,α∈[0,2π);②若x2a2+y2b2=1(a>0,b>0),可设x=acosα,y=bsinα,α∈[0,2π);③若x2+y2≤1,可设x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1),θ∈[0,2π);④对于1-x2,可设x=cosθ或x=sinθ;⑤对于1+x2,可设x=tanθ或x=cotθ;⑥对于x2-1,可设x=secθ或x=cscθ.思考题1(1)设x+y=1,x,y∈(0,+∞),则x2+y2+xy的最小值为()A.14B.34C.-14D.-34(2)求证:-2x+x+1+3≤418.二、放缩法证明不等式例2(1)对于任意n∈N*,求证:1+122+132+142+…+1n2<74.(2)已知a,b,c均为正数,a+bc,求证:a1+a+b1+bc1+c.探究2(1)利用放缩法证明不等式应适当掌握放缩尺度,否则放的过大或缩的过小,如解析一中若从第二项122开始放大,结果为原式<1+(1-12+12-13+…+1n-1-1n)=2-1n<2这样显然放的过大.(2)本例题是通过改变n2中一个因式或两个因式的大小达到放缩的目的,对于多项式可通过添上或去掉个别项达到放缩的目的.(3)均值不等式、绝对值不等式等一些重要不等式都可以作为放缩公式,另外自己应该总结一些常见的放缩公式,如:k+1-k<12k<k-k-1,真分数性质:b+ma+mba(a>b>0,m>0),1k2<1k-1-1k,n!>2n-1(n≥3),2n-1>n+1(n≥4).思考题2(1)已知a,b,c,d均为正数,S=aa+b+d+bb+c+a+cc+d+b+dd+a+c,则一定有()A.0S1B.1S2C.2S3D.3S4(2)求证:1×2+2×3+…+n(n+1)<n(n+2)2.用换元法与放缩法证明不等式一、换元法证不等式例1已知a,b∈R,a2+b2≤4.求证:|3a2-8ab-3b2|≤20.【思路】本题主要考查证明不等式的常用方法,根据条件a2+b2≤4的特征,可运用换元法进行证明.【解析】∵a,b∈R,a2+b2≤4,∴可设a=rcosθ,b=rsinθ(θ∈R),其中0≤r≤2.∴|3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2θ-4sin2θ|=5r2|cos(2θ+φ)|≤5r2≤20.∴原不等式成立.【讲评】容易出现令a=2cosθ,b=2sinθ,θ∈[0,2π]这样错误的换元法,造成失误.探究1有些不等式直接证明较为困难,但通过换元的思想方法可使问题便于研究.常见的换元是三角换元,用三角代换把问题转化为三角问题,利用三角函数的性质就可解决.根据实际情况,实施的代换方法有:①若x2+y2=a2(a>0),可设x=acosα,y=asinα,α∈[0,2π);②若x2a2+y2b2=1(a>0,b>0),可设x=acosα,y=bsinα,α∈[0,2π);③若x2+y2≤1,可设x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1),θ∈[0,2π);④对于1-x2,可设x=cosθ或x=sinθ;⑤对于1+x2,可设x=tanθ或x=cotθ;⑥对于x2-1,可设x=secθ或x=cscθ.思考题1(1)设x+y=1,x,y∈(0,+∞),则x2+y2+xy的最小值为()A.14B.34C.-14D.-34【解析】∵x>0,y>0且x+y=1,∴xy≤(x+y2)2=14.∴x2+y2+xy=(x+y)2-xy=1-xy≥1-14=34.当且仅当x=y=12时取等号,故x2+y2+xy有最小值34.【答案】B(2)求证:-2x+x+1+3≤418.【证明】设函数y=-2x+x+1+3,设x+1=t,t∈[0,+∞),则x=t2-1.∴y=-2t2+t+5=-2(t-14)2+418≤418.二、放缩法证明不等式例2(1)对于任意n∈N*,求证:1+122+132+142+…+1n2<74.【思路】通过变形将数列{1n2}放缩为可求和数列.【解析】方法一:∵1n2=1n·n<1n(n-1)=1n-1-1n(n≥2),∴1+122+132+142+…+1n2<1+122+13×2+14×3+…+1n(n-1)=1+14+(12-13+13-14+…+1n-1-1n)=54+12-1n=74-1n<74.方法二:∵n∈N*,当n≥2时,n2>n2-1=(n+1)(n-1),∴1n2<1(n+1)(n-1)=12(1n-1-1n+1).∴1+122+132+142+…+1n21+12(1-13+12-14+13-15+…+1n-1-1n+1)=1+12(1+12-1n-1n+1)=74-12(1n+1n+1)<74.(2)已知a,b,c均为正数,a+bc,求证:a1+a+b1+bc1+c.【证明】a1+a+b1+ba1+a+b+b1+a+b=a+b1+a+b,设f(x)=x1+x(x0),则f′(x)=1(1+x)20.∴f(x)在[0,+∞)上为增函数.又a+bc0,∴a+b1+a+bc1+c,∴a1+a+b1+bc1+c.探究2(1)利用放缩法证明不等式应适当掌握放缩尺度,否则放的过大或缩的过小,如解析一中若从第二项122开始放大,结果为原式<1+(1-12+12-13+…+1n-1-1n)=2-1n<2这样显然放的过大.(2)本例题是通过改变n2中一个因式或两个因式的大小达到放缩的目的,对于多项式可通过添上或去掉个别项达到放缩的目的.(3)均值不等式、绝对值不等式等一些重要不等式都可以作为放缩公式,另外自己应该总结一些常见的放缩公式,如:k+1-k<12k<k-k-1,真分数性质:b+ma+mba(a>b>0,m>0),1k2<1k-1-1k,n!>2n-1(n≥3),2n-1>n+1(n≥4).思考题2(1)已知a,b,c,d均为正数,S=aa+b+d+bb+c+a+cc+d+b+dd+a+c,则一定有()A.0S1B.1S2C.2S3D.3S4【解析】Saa+b+c+d+ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d=1,Saa+b+ba+b+cc+d+dc+d=2,∴1S2,故选B.【答案】B(2)求证:1×2+2×3+…+n(n+1)<n(n+2)2.【证明】左边<1+22+2+32+…+n+n+12=(1+2+3+…+n)+n2=n(n+1)2+n2=n(n+2)2.
本文标题:用换元法与放缩法证明不等式
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