第三讲-多速率信号处理与数字前端技术

第三讲多速率信号处理与数字前端技术电子科技大学：王洪3.1整数倍抽取™所谓整数倍抽取是指把原始采样序列x(n)每隔(D-1)个数据取一个，以形成一个新序列xD(m)，即：xD(m)=x(mD)式中，D为正整数。抽取过程及抽取器符号见下图。DX(n)XD(m)抽取器的符号表示)(nx)(nxD01234567890123nm整数倍抽取™直接抽取数据，行吗？口说无凭，公式证明！定义一个新信号：根据恒等式：则x’(n)可以表示为：⎩⎨⎧±±==其他0,2D,...)D,0,(n),()('nxnx⎩⎨⎧±±==∑−=其他0,...)2D,D,0,(n,11102DlDnljeDπ]1)[()('102∑−==DlDnljeDnxnxπ由于xD(m)=x(Dm)=x’(Dm)，对xD(m)进行Z变换，可得：∑∑+∞∞−−−+∞∞−==mmDDzDmxzmxX)(')(∑+∞∞−−=Dmzmx)('把x’(m)的表达式以及带入上式，得：ωjez=∑−=−=10/)2(][1)(DlDljjDeXDeXπωω由上式可见，抽取序列的频谱为抽取前后原始序列之频谱经频移和D倍展宽后的D个频谱的叠加和，因此可能存在混迭。)(ωjeX)(/)2(DljeXπω−)(ωjDeXπ2−π−ππ2000π2−π−ππ2π2−π−ππ2直接抽取序列，频谱产生混叠™预滤波—解决混叠的良药！由上图可见，抽取后的频谱产生了严重的混叠，使得从中已经无法恢复出我们所感兴趣的信号频谱分量。但是，如果首先采用一数字滤波器对进行滤波，使中只含有小于pi/D的频率分量（对应模拟频率为pi×fs/D），再进行D倍抽取，则抽取后的频谱就不会发生混叠。)(ωjDeX)(ωjeX)(ωjeX)(ωjeX)(ωjeH)('ωjeX)(ωjDeX0ππ2π3π−π2−π3−D/π−D/π0ππ2π3π−π2−π3−滤波后抽取序列，频谱不会混叠经过抽取，数据流数率只有以前的1/D，大大降低了对后续处理（解调分析等）的速度要求。)(ωjDeX)(ωjeXD)(ωjLPeH完整的抽取器方框图3.2整数倍内插所谓整数倍内插就是指在两个原始采样点之间插入（I－1）个零值，若设原始抽样序列为x(n)，则内插后的序列xI(m)为：⎪⎩⎪⎨⎧±±==其他,020(,)(I......)I,,m)Imx(mxI™内插过程如图所示：)('mxI0123456789n)(nx0123m整数倍内插内插滤波0123456789n)(mxI™抽取导致频谱扩散，内插呢？内插(I=2)前后的频谱结构图0ππ2π−π2−0ππ2π−π2−0ππ2π−π2−Iπ−IπIπ−Iπ从上图很容易看出，内插后的信号频谱相当于原始信号经过I倍压缩后得到的谱。并且在未经滤波前，频谱除了含有基带分量外，还含有原始信号的高频成分。因此，为了能恢复原始信号，内插后通常要进行低通滤波。II)(ωjeX)(ωjIeX)(ωjLPeH)('ωjIeX完整的内插器方框图™如果说抽取提高了频域分辨率，那么内插则是提高了时域分辨率。3.3取样率的分数倍变换前面讨论的整数倍抽取和内插实际上是取样率变换的一种特殊情况，即：整数倍变换的情况。然而在实际中往往会遇到非整数倍变换的情况。假如分数倍变换的变换比为：R=D/I，怎么办？→先内插，再抽取？→先抽取，再内插？二者皆可？•一定要先内插！！SfIDSf'Sfx(n)y(m)S(k))(1ωjeH()ωjeH2x(n)y(m)I)(ωjeHD取样率的分数倍变换()()()ωωωjjjeHeHeH21=™从频域上不难理解到，如果先进行抽取，要么会引起混叠，使信号失真，要么是放弃一部分信号分量，也会引起信号失真！3.4取样率变换的性质™经过前面的分析，我们很容易得出内插及抽取的特性，如下图所示：()mφDDDDDDDDDDx(n)x(n)x(n)x(n)x(n)x(n)x(n)x(n)y(m)y(m)y(m)y(m)y(m)y(m)y(m)y(m)()mφ)(nφ)(nφ1−Z1−ZDZ−DZ1−抽取器的对等关系IIIIDI=DDIII)(nφ)(nφ()nφIII()nφ1−Z1−Z1−Z1−Z1−ZI=DIZ1−内插器的对等关系ID=IDI=DD1D2D3I1I2I3x(n)x(n)x(n)x(n)x(n)x(n)x(n)x(n)y(m)y(m)y(m)y(m)y(m)y(m)y(m)y(m)D3=D1D2I3=I1I2⎩⎨⎧±±==其他0,2D...D,0,n,1)(np抽取内插级联系统的对等关系3.5抽取内插器的实时滤波结构—多相滤波结构前面所讨论的，无论是抽取还是内插，对系统运算速度的要求是相当高的。主要表现在抽取器模型中，低通滤波器位于抽取因子之前（即LPF是在降速之前实现的），而在内插器模型中，LPF是在内插因子之后（LPF在提速之后进行）。由此可见，无论抽取还是内插，数字滤波器的运算速度要求是相当高的。面临这种情况，我们采用多相滤波结构来解决。直接运算量很大且浪费：)(ωjDeX)(ωjeXD)(ωjLPeH完整的抽取器方框图II)(ωjeX)(ωjIeX)(ωjLPeH)('ωjIeX完整的内插器方框图™设数字滤波器的冲击响应为h(n),则其Z变换定义为：∑+∞∞−−=nznhzH)()(将式子展开整理可重写为：]))(([)(10nnDDkKzKnDhzzH−+∞−∞=−=−∑∑+=∑+∞−∞=−+=nnKzKnDhzE)()(令：)()(10DKDKKzEzzH∑−=−=得：数字滤波器的多相结构（抽取）D…x(n)y(n)1−Z1−Z1−Z)(0DzE)(1DzE………)(1DDzE−得到数字滤波器的多相滤波结构。（适合于抽取器模型）。其图示如下：™再根据抽取器的等效关系，我们不难得到抽取器的多相滤波结构：D…x(n)y(n)1−Z1−Z1−Z)(0zE)(1zE………)(1zED−DD抽取器的多相滤波结构x(n)y(n)Z-1Z-1ED-1(zD)…E0(zD)E1(zD)(g)分相后的信号流程(b)分相1nh(n)(a)分解前图3.19滤波器的多相分解(D＝3)036912nh(nD+0)(b)分相003691224211815nh(nD+1)14710nh(nD+2)(d)分相223258112017141518212422191613x(n)y(n)……h(0)h(1)h(N-1)Z-1Z-1(e)H(z)的信号流程x(n)y(n)……ek(0)ek(1)ek(L-1)Z-DZ-D(f)Ek(zD)的信号流程图3.20抽取器的多相滤波结构x(n1)y(n2)↓DZ-1Z-1Z-1ED-1(zD)…x(n1)y(n2)Z-1Z-1Z-1…E0(zD)E1(zD)↓D↓D↓DED-1(z)E0(z)E1(z)(a)先滤波后抽取(b)先抽取后滤波图3.20抽取器的多相滤波结构x(n1)y(n2)↓DZ-1Z-1Z-1ED-1(zD)…x(n1)y(n2)Z-1Z-1Z-1…E0(zD)E1(zD)↓D↓D↓DED-1(z)E0(z)E1(z)(a)先滤波后抽取(b)先抽取后滤波x(n1)……h(0)Z-1Z-1x(n1),x(n1+1),x(n1+2),…↓Dy(n2)图3.21等效前的信号运算流程图……Z-DZ-Dh(D)x(n1-D),x(n1-D+1),x(n1-D+2),…H[(L-1)D]x[n1-(L-1)D],x[n1-(L-1)D+1],…h(1)x(n1-1),x(n1),x(n1+1),………Z-DZ-Dh(D+1)x(n1-D-1),x(n1-D),x(n1-D+1),…H[(L-1)D+1]x[n1-(L-1)D],x[n1-(L-1)D+1],…h(D-1)x[n1-(D-1)],x[n1-(D-1)+1],………Z-DZ-DH[D+(D-1)]x[n1-(D-1)-1],x[n1-(D-1)],…H[(L-1)D+(D-1)]x[n1-(D-1)-(L-1)D],x[n1-(D-1)-(L-1)D+1],…x(n1)……h(0)Z-1Z-1x(n1),x(n1+D),x(n1+2D),…↓Dy(n2)图3.22等效后的信号运算流程图……Z-1Z-1h(D)x(n1-D),x(n1),x(n1+D),…H[(L-1)D]x[n1-(L-1)D],x[n1-(L-1)D+D],…h(1)x(n1-1),x(n1-1+D),x(n1-1+2D),………Z-1Z-1h(D+1)x(n1-1-D),x(n1-1),x(n1-1+D),…H[(L-1)D+1]x[n1-1-(L-1)D],x[n1-1-(L-1)D+D],…h(D-1)x[n1-(D-1)],x[n1-(D-1)+D],………Z-1Z-1H[D+(D-1)]x[n1-(D-1)-D],x[n1-(D-1)],…H[(L-1)D+(D-1)]x[n1-(D-1)-(L-1)D],x[n1-(D-1)-(L-1)D+D],…↓D↓Dx(n1)…h(0)x(n1),x(n1+D),x(n1+2D),…y(n2)图3.23多相滤波抽取系统的等效开关结构……Z-1Z-1h(D)x(n1-D),x(n1),x(n1+D),…h[(L-1)D]x[n1-(L-1)D],x[n1-(L-1)D+D],…h(1)x(n1-1),x(n1-1+D),x(n1-1+2D),………Z-1Z-1h(D+1)x(n1-1-D),x(n1-1),x(n1-1+D),…h[(L-1)D+1]x[n1-1-(L-1)D],x[n1-1-(L-1)D+D],…h(D-1)x[n1-(D-1)],x[n1-(D-1)+D],………Z-1Z-1H[D+(D-1)]x[n1-(D-1)-D],x[n1-(D-1)],…h[(L-1)D+(D-1)]x[n1-(D-1)-(L-1)D],x[n1-(D-1)-(L-1)D+D],…™同理，我们可以得出适合于内插器的多相滤波结构的另一种表达式：根据表达式，我们可以画出适合内插的数字滤波器的结构框图。∑−=−−−=10)1()()(InIKKIzRzzHI…x(n)1−Z1−Z1−Z)(0IzR)(1IzR………)(1ILzR−y(m)数字滤波器的多相结构™根据内插器的等效关系，我们可以得到内插器的多相滤波结构，如下图：I…x(n)1−Z1−Z1−Z)(0zR)(1zR………)(1zRL−y(m)II图3.24内插器的多相滤波结构x(n1)y(n2)↑IZ-1Z-1RI-1(zI)…R0(zI)R1(zI)(a)先内插后滤波x(n1)y(n2)↑IZ-1Z-1RI-1(zI)…R0(zI)R1(zI)(b)先滤波后内插↑I↑Ih(LI-2)x(n1)h(I-1)y(n2)图3.25多相滤波内插系统的等效换向结构……Z-1Z-1h(2I-1)h(LI-1)h(I-2)……Z-1Z-1h(2I-2)h(0)……Z-1Z-1h(I)h(LI-I)图3.26分数倍采样率变换的多相滤波结构x(n1)y(n2)↑IZ-1Z-1RI-1(zI)…R0(zI)R1(zI)(a)采用内插的多相滤波结构↑I↑I↓Dx(n1)y(n2)Z-1Z-1Z-1…↓D↓D↓DED-1(z)E0(z)E1(z)↑I(b)采用抽取的多相滤波结构™举例：设输入采样率为fs＝100MSa/S，最终数据流250KSa/S，抽取倍数为400，信号带宽为100KHz。此时设计抽取滤波器：要求阻带衰减小于0.01，可计算滤波器的阶数为2233。分析直接计算和采用多相分解的运算量。解：直接计算：100X2233=223.3GIPS需要约200个C6xxx的处理能力多相分解：100X2233/400=0.557GIPS只需要1个C6xxx的处理能力3.6取样率变换的多级实现™问题延伸：设输入采样率为fs＝100MSa/S，最终数据流250KSa/S，抽取倍数为400，信号带宽为100KHz，要求阻带衰减小于0.01，求用窗函数法设计滤