有理数的概念及运算法则

一.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数0正有理数负整数正分数有理数有理数0（0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数二.有理数基本概念基本概念定义引申意义及性质数轴数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。相反数代数意义只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。1.0的相反数是0；0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。任何数都有相反数，且只有一个；互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=02.相反数的求法⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。绝对值代数意义一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0.1.①如果a0，那么|a|=a；②如果a0，那么|a|=-a；③如果a=0，那么|a|=0。2.一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0；绝对值相等的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a，则x=±a；互为相反数的两数的绝对值相等。3.若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）4.绝对值的化简①当a≥0时，|a|=a；②当a≤0时，|a|=-a几何意义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。倒数乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数0没有倒数；②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。有理数大小的比较只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。三有理数运算法则运算法则定律及性质加法⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；⑶互为相反数的两数相加，和为零；⑴加法交换律：a+b=b+a⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。减法减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。乘法1：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2：任何数同0相乘，都得0；3：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；4：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.⑴乘法交换律：ab=ba⑵乘法结合律：(ab)c=a(bc).⑶乘法分配律：a(b+c)=ab+ac除法（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0乘方求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在na中，a叫做底数，n叫做指数。（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。混合运算做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”②按运算意义读作“负8减7减6加5”科学记数法把一个数表示成na10的形式或表示成a×10-n的形式（其中101a，n是正整数），这种记数法是科学记数法。如：864000可以写成8.64×105如：0.000021可以表示成2.1×10-5