排列组合应用题的类型及解题策略

湖南省汉寿县第三中学艾镇南第1页/共44页排列组合应用题的类型及解题策略排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，或结合概率统计综合出题，它联系实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。三、解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。1、特殊优先法:奎屯王新敞新疆对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。例1．（06上海春）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填A22·A44＝48.从而应填48．（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要“完成什么样的事件”是前提。三．基本题型及方法：1．相邻问题（1）、全相邻问题，整体处理（捆邦法）例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（C）种。A）720B）360C）240D）120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。（2）、全不相邻问题，插空处理法例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，湖南省汉寿县第三中学艾镇南第2页/共44页问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有47A种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为4676AA种例4（06重庆卷)高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A）1800（B）3600（C）4320（D）5040解：不同排法的种数为5256AA＝3600，故选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。（3）．不全相邻排除法，排除处理例5．五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？解：533235332372AAAAA222232或3AAA例6．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是解法一：①前后各一个，有8×12×2＝192种方法②前排左、右各一人：共有4×4×2＝32种方法③两人都在前排：两人都在前排左边的四个位置：乙可坐2个位置乙可坐1个位置2＋2＝41＋1＝2此种情况共有4＋2＝6种方法因为两边都是4个位置，都坐右边亦有6种方法，所以坐在第一排总共有6＋6＝12种方法④两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右湖南省汉寿县第三中学艾镇南第3页/共44页∴甲左乙右总共有55102110128910种方法．同样甲、乙可互换位置，乙左甲右也同样有55种方法，所以甲、乙按要求同坐第二排总共有55×2＝110种方法。综上所述，按要求两人不同排法有192＋32＋12＋110＝346种解法二：考虑20个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻，4号座位与5号座位不算相邻（坐在前排相邻的情况有12种。），7号座位与8号座位不算相邻（坐在后排相邻的情况有22种。），共有346)611(2220A种2、顺序一定，除法处理或分类法。例7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（）（用数字作答）。解：5面旗全排列有55A种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有55323210AAA说明:在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题,这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷例8．（06湖北卷）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是。（用数字作答）解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），可得有22525AA＝30种不同排法。解二：6!4!=30湖南省汉寿县第三中学艾镇南第4页/共44页例9、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（）A）210个B）300个C）464个D）600个解：155513002AA故选（B）4、多元问题，分类法例10．(06陕西卷)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有种解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，①甲、丙同去，则乙不去，有2454CA=240种选法；②甲、丙同不去，乙去，有3454CA=240种选法；③甲、乙、丙都不去，有45120A种选法，共有600种不同的选派方案．例11：（06全国卷I）设集合1,2,3,4,5I。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有A．50种B．49种C．48种D．47种解析：若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有25C=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有35C=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有45C=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有55C=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有35C=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有45C=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有55C=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有45C=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有55C=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有55C=1种；总计有49种，选B.解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有25C=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有35C=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；湖南省汉寿县第三中学艾镇南第5页/共44页从5个元素中选出4个元素，有45C=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有55C=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法。选B.例12（06天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．10种B．20种C．36种D．52种解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有144C种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有246C种方法；则不同的放球方法有10种，选A．说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。5、交叉问题，集合法（二元否定问题，依次分类）。例13、从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？解：设全集U={6人中任选4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素的个数的公式可得参赛方法共有：card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)=252例14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午安排两节课。（1）若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？（2）若要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），一共有多少种不同的排课方法？例15、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）A）6种B）9种C）11种D）23种解：此题可以看成是将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一数，且每个方格的标号与所填数字不同的填法问题。所以先将1填入2至4的3个方格里有3种填法；第二步把被填入方格的对应数字填入其它3个方格，又有3种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中只有一种填法，故共有3×3×1=9种填法。故选B说明：求解二元否定问题可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下湖南省汉寿县第三中学艾镇南第6页/共44页去，依此即可完成。例16、（06湖北卷）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是.(用数字作答)。（答：78种）说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素的个数的公式来求解。6、多排问题，单排法例17、两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一座位），则不同的座法为A）5388CCB）153288ACCC）3588AAD）88A解：此题分两排座可以看成是一排座，故有88A种座法。∴选（D）说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。7、至少问题，分类法或间接法（排除处理）例18．（06福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（A）108种（B）186种（C）216种（D）270种解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有3374AA=186种，选B.例19．（06辽宁卷）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)【解析】两老一新时,有112322C12CA种排法；两新一老时,有123233CC36A种排法,即共有48种排法.【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.例20．(06重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（A）３０种（B）９０种（C）１８０种（D）２７０种解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有12542215CCA种方法，再将3组分到3个班，共有331590A种不同的分配方案，选B.说明：含“至多”或“至少”的排列组合问题，是需要分类问题，或排除法。排除法，适用于反面情况明确且易于计算的情况。湖南省汉寿县第三中学艾镇南第7页/共44页8、部分符合条件淘汰法例21．四面体的顶点各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A）150种B）147种C）144种D）141种