段正敏主编《线性代数》习题解答

线性代数习题解答1张应应胡佩2013-3-1目录第一章行列式....................................................................................................................1第二章矩阵......................................................................................................................22第三章向量组的线性相关性..........................................................................................50第四章线性方程组..........................................................................................................69第五章矩阵的相似对角化..............................................................................................91第六章二次型................................................................................................................114附录：习题参考答案...........................................................................................................1291教材：段正敏，颜军，阴文革:《线性代数》，高等教育出版社，2010。1第一章行列式1．填空题：（1）3421的逆序数为5；解：该排列的逆序数为00235t.（2）517924的逆序数为7；解：该排列的逆序数为0100337t.（3）设有行列式2311187001234564021103152D=)(ija，含因子543112aaa的项为-1440，0；解：(23154)31223314554(1)(1)526831440taaaaa(24153)41224314553(1)(1)506810taaaaa所以D含因子543112aaa的项为-1440和0.（4）若n阶行列式)(,)(ijijnaDaaD则1na；解：行列式D中每一行可提出一个公因子1，()1()1nnijijDaaa.（5）设328814412211111)(xxxxf，则0)(xf的根为1，2，-2；解：()fx是一个Vandermonde行列式，()(1)(2)(2)(21)(22)(21)0fxxxx的根为1，2，-2.（6）设321,,xxx是方程03qpxx的三个根，则行列式132213321xxxxxxxxx0；解：根据条件有332123123123()()()()xpxqxxxxxxxxxxxaxxxx比较系数可得：1230xxx，123xxxq2再根据条件得：311322333xpxqxpxqxpxq原行列式333123123123=3()33()0xxxxxxpxxxqq.（7）设有行列式100132xxx=0，则x=1，2；解：2231032(1)(2)001xxxxxxx1,2x.（8）设)(xf444342343331242221131211aaaxaaxaaxaaxaaa，则多项式)(xf中3x的系数为0；解：按第一列展开11112121313141()fxaAaAaAxA，112131,,AAA中最多只含有2x项，含有3x的项只可能是41xA12134141222433343123413242233132234122433(1)aaxxAxaxaxaaxxaaaaaaxaaaaaa41xA不含3x项，()fx中3x的系数为0.（9）如果330020034564321x=0，则x=2；解：12346543122(512)(63)000265330033xxx2x.3（10）000000000000dcba=-abcd；解：将行列式按第一行展开：1400000000(1)0000000000abbacabcdcdd.（11）如果121013cba=1，则111425333cba=1；解：1323323133301302524121111111TrrAArraabcabcbc.（12）如333231232221131211aaaaaaaaa=2，则333232312322222113121211222222222222aaaaaaaaaaaa=-16，332313231332221222123121112111323232aaaaaaaaaaaaaaa=-4，3212000332313322212312111aaaaaaaaa=-4；解：1112131121312122231231222321233132331323332TaaaaaaAaaaAaaaaaaaaa1112121332122222312231223313232331221232222222222222222288016aaaaaaaaaaaaA41121112131122212223212123121231323132333122311232323232323232aaaaaaaaaaaaaaa1223122123224TA11213114122232132333000212423TaaaAaaaaaa按第一行展开（-1）.（13）设n阶行列式D=0a，且D中的每列的元素之和为b，则行列式D中的第二行的代数余子式之和为=ab；解：11121111211112121222121212111=nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaabbbbaaaaaaaaa每行元素加到第二行212220nbAAAa按第二行展开212220,0nbAAA且21222naAAAb实际上，由上述证明过程可知任意行代数余子式之和12,1,2,,iiinaAAAinb.（14）如果44434234333224232214131211000aaaaaaaaaaaaa=1，则24231211444342343332242322000aaaaaaaaaaaaa=-1，443424433323423222aaaaaaaaa=111a；解：令222324323334424344aaaBaaaaaa，则5111213142223241111113233341142434401(1)10,000aaaaaaaaBaBaaaaaaa且2223243233344111114243441112232400(1)10aaaaaaaBaBaaaaaaa223242233343112434441TaaaaaaBBaaaa.（15）设有行列式1001321xx，则元素1的余子式21M=231x，元素2的代数余子式12A=1210101；（16）设3214214314324321D=)(ija，ijijaA表示元素的代数余子式，则44342414432AAAA0；解：方法一：14243444234AAAA可看成D中第一列各元素与第四列对应元素代数余子式乘积之和，故其值为0.方法二：11424344412312342234034134124AAAA推论.（17）设cdbaacbdadbcdcbaD=)(ija，ijijaA表示元素的代数余子式，则44342414AAAA0；6解：1424344411011abccbdAAAAdbcabd推论4.（18）设6000000000000002000230023402345)(xxxxxxf，则5x的系数为6；解：方法一：54255254320543243200432032000()66(1)(1)63200200002000000000000000006xxxxxfxxxxxxxx方法二：()fx只有一项非054321615243342516610255543204320032000()12000000000000006(1)(1)66txxxfxaaaaaaxxxx综上所述：5x的系数为6.（19）设1112121222121112111121212222122212120mmmmmmnmnmnnnnnnnmaaaaaaaaaDbbbcccbbbcccbbbccc，且111212122212mmmmmmaaaaaaaaaa7111212122212nnnnnnbbbbbbbbbb，则D=1mnab；解：方法一：令111212122212mmmmmmaaaaaaAaaaa，111212122212nnnnnnbbbbbbBbbbb则1AODABabCB,211mnmnOADABabBC证明：根据行列式性质2和5，将行列式A变成下三角行列式，得到：11112121222212121212mmmmmmmmmmaaaaaaaaaAaaaaaaaaaa行列式1D、2D的变换和行列式A的变换完全相同，得到：1212121111211112121222212221212mmmmnmnnnnmnnnnaaaaaaDcccbbbcccbbbcccbbb81212122111211112121222212221212mmmnmnmnnnnnnnmaaaaaaDbbbcccbbbcccbbbccc分别将1D、2D第一次按第一行展开（2a变成第一行），第二次按第二行展开（3a变成第一行），……，总共进行m次第一行展开，得到：112mDaaaBABab；11111121211111nnnmnmnmDaaaBABab证毕.方法二：设ijmmAa，pqnnBb，ijmnmnAODdCB其中：,1:,1