高中数学二级结论(精)

（李老师编）第1页共8页高中数学二级结论一、函数性质1、奇偶函数概念的推广及其周期（1）对于函数f（x），若存在常数a，使得f（a-x）=f（a+x）（*），则称f（x）为广义型偶函数（图像关于直线ax轴对称），且当有两个相异实数a，b同时满足（*）时，f（x）为周期函数T=2|b-a|；（2）对于函数f（x），若存在常数a，使得f（a-x）=—f（a+x）（*），则称f（x）为广义型奇函数（图像关于点0a，中心对称），当有两个相异实数a，b同时满足（*）时，f（x）为周期函数T=2|b-a|2、抽象函数的对称性（1）若f（x）满足f（a+x）+f（b-x）=c，则函数关于（，）成中心对称（充要）（2）若f（x）满足f（a+x）=f（b-x），则函数关于直线x=成轴对称（充要）3、()()fxkkfx方程有解，则的取值范围为的值域4、有几个交点的图像与直线有几个解方程kyxfykxf)()(5、恒成立，，恒成立，，kxfnmxkxxxfxfnmxx)()()(,212121二、导数应用（一）常用不等式放缩①1xex、1ln11xxxxx、)1(xexex、2lnxeaxxa；②11ln10xxxx、2ln(1)2xxxx0x；③)2(aaxeexx推论：)0(ln21tttt、ln(002)axxxaxa，；④xx2111；11nxnx；⑤sintanxxx)2,0(x；xx2sin)2,0(x.（二）洛必达法则法则1：若函数f（x）和g（x）满足下列条件：（1）lim0xafx及lim0xagx；（2）在点a的去心邻域内，f（x）与g（x）可导且g'（x）≠0；（3）limxafxlgx，那么limxafxgx=limxafxlgx.法则2：若函数f（x）和g（x）满足下列条件：（1）limxafx及limxagx；（2）在点a的去心邻域内，f（x）与g（x）可导且g'（x）≠0；（3）limxafxlgx，那么limxafxgx=limxafxlgx.（李老师编）第2页共8页三、解三角形1、面积公式（1）111sinsinsin222CSbcabCac（2）221221112211,,,22CSbcbcxyxybxycxy其中rrrrrr（3）已知三角形三边，求面积可用下述方法：①海伦公式变式：如下图，图中的圆为大三角形的内切圆，大三角形三边长分别为a，b，c，大三角形面积为縰th（thᦙ縰（䂕ᦙ䂉䂕䂄ᦙ䂉䂄䂕ᦙ䂉䂕䂄ᦙ②xzzyyxSzyxcxzbzyayx21222再代入、、解得，，由2、外接圆半径3、任意三角形内切圆半径r=cbaS2（S为面积）（若C为直角，则△ABC的内切圆半径为2cba）4、余弦定理推论：2222bcaABAC5、射影定理：a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c=acosB＋bcosA6、正切定理：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC7、三角形其它边角关系①bcaabca为最大边时②222sincossincossincossincossincossincosABACBCABCbcaaBACACB为锐角三角形为最大边时③222tantantan0abcAaABCabc为钝角的三角形为最大边时四、平面向量1、三点共线定理：2、等和线定理：（李老师编）第3页共8页3、燕尾定理：在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么::ABOACOSSBDDC．4、奔驰定理已知△ABC，O为其外心，H为其垂心，则OCOBOAOH五、直线和圆的方程1、到角公式：若把直线1l依逆时针方向旋转到与2l第一次重合时所转的角是，则21121tankkkkθ=2、两直线所夹角平分线方程：11122222221122=AxByCAxByCABAB3、直线向量式方程：112121=xxyyxxyy，，或211211xxyyyyxx4、点（x，y）关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为2222)(2,)(2BACByAxByBACByAxAx5、以1122,,,AxyBxy为直径端点的圆方程为12120xxxxyyyy6、过圆222)()(rbyax上任意一点),(00yxP的切线方程为200))(())((rbybyaxax7、抛物线pxy22上一点00(,)Pxy处的切线方程是00()yypxx.8、切点弦方程（平面内一点),(00yxP引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程）①圆222)()(rbyax的切点弦方程为200))(())((rbybyaxax②椭圆)0,0(12222babyax的切点弦方程为12020byyaxx③双曲线)0,0(12222babyax的切点弦方程为12020byyaxx④抛物线)0(22ppxy的切点弦方程为)(00xxpyy六、圆锥曲线OFEDCBA（李老师编）第4页共8页1、圆锥曲线的方程：222xcyeaxc2、椭圆)0,0(12222babyax与直线)0·(0BACByAx相切的条件是22222CbBaA3、双曲线)0,0(12222babyax与直线)0·(0BACByAx相切的条件是22222CbBaA4、若直线y=kx+m与椭圆)0(12222babyax相交于两点，则2222212bkambyy5、弦长公式：2222121212121()41()4ABkxxxxmyyyy6、椭圆的焦半径公式：1020,PFaexPFaex7、已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且，焦准距（焦点到对应准线的距离）为，则①22coscosbbFAFBacac，，；②当焦点内分弦时，有；③当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有.8、已知椭圆方程为)0(12222babyax，两焦点分别为1F，2F，设焦点三角形21FPF中21PFF，则221cose（P点在y轴上时，θ角最大）证明：222222222121221222121212122+42+422cos=1111222+2acrrcrrrrcbberrrrrrarr9、111221sin2,,sinsinsinsinsinrrcPFFPFFe若则2222tanAPBtanAPP1axaxabyyyHBHaxaxabyy（22PAPBbkka）10、在椭圆22221xyab（ab0），F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的面积122tan2PFFSb，其中θ=∠F1PF2.①222222121212121224=+2cos+421cos=1cosbcrrrrrrcrrrr②11、在双曲线22221xyab1（a0，b0）中，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上（李老师编）第5页共8页一点，则△PF1F2的面积122tan2PFFbS，其中θ=∠F1PF2.12、关于抛物线焦点弦的一些结论：设AB为过抛物线22(0)ypxp焦点的弦，1122(,)(,)AxyBxy、，直线AB的倾斜角为，斜率为k，则⑴焦点F对AB、在准线上射影的张角为2；以AB为直径的圆与准线相切.⑵2212121112=042222pppppxxyypFAFByy，，，，uuuruuur，y1+y2=；⑶222221212442=2222pppkpxpxpABpyy，221221sinpABpk；⑷21224==1+2FApkFBxxp当时，11212()22ppxxxx；⑸112||||FAFBP.13、在椭圆E:22221xyab（ab0）中:（1）如图①所示，若直线y=kx（k≠0）与椭圆E交于A，B两点，过A，B两点作椭圆的切线l，l'，有l∥l'，设其斜率为k0，则k0·k=22ba.（2）如图②所示，若直线y=kx与椭圆E交于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2=22ba.（3）如图③所示，若直线y=kx+m（k≠0且m≠0）与椭圆E交于A，B两点，P为弦AB的中点，设直线PO的斜率为k0，则k0·k=22ba.推论：以椭圆22221xyab内任意一点（x0，y0）为中点的弦AB的斜率k=2020xbay.14、在双曲线E:22221xyab（a0，b0）中，类比上述结论有:（1）k0·k=22ba.（2）k1·k2=22ba.（3）k0·k=22ba.（李老师编）第6页共8页15、与双曲线12222byax有相同渐近线的双曲线方程为2222byax（0时，焦点在x轴上；0时，焦点在y轴上）七、立体几何1、棱长为a的正四面体内切球半径r=612a，外接球半径R=64a.2、任意的简单n面体内切球半径为表SV3（V是简单n面体的体积，表S是简单n面体的表面积）3、斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍4、向量法判断位置关系（1）设直线lm、的方向向量分别是、ab，平面、的法向量分别是、uv，则：①线线平行：l∥ma∥bakb②线面平行：l∥au0au③面面平行：////uvukv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.（2）设直线lm、的方向向量分别是mn、，平面内任意向量、ab，平面内任意向量c，则：①线线垂直：lm0mn②线面垂直：l00mamburrurr③面面垂直：00cacbrrrr5、向量法求空间角（设直线lm、的方向向量分别是、ab，平面、的法向量分别是、uv）（1）直线lm、所成的角(0)2满足：cosabab（2）直线l与平面所成的角(0)2满足：sinauau（3）平面与平面所成的二面角的平面角(0)满足：cosuvuv八、数列1、通项公式的求法类型一()1nnaafn+-=的数列（逐差累加法）类型二：1nnapaq+=+（法一）()()111111111,,,nnnnnnnnnnnnnnnqqapaqapaqpappbabpbbbpapaaap令解得再令，得lllllllllll++---+++=+Þ+=++=+==+=\==+=+\=+-（李老师编）第7页共8页（法二）由qpaann1得1(2)nnapaqn两式相减并整理得11,nnnnaapaa则1nnaa构成以21aa为首项，以p为公比的等