全等三角形专题之垂直模型

垂直模型考点一：利用垂直证明角相等1.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．求证：（1）AE＝CD；（2）若AC＝12cm，求BD的长．2.如图(1),已知△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.图(1)图(2)图(3)(1)试说明:BD=DE+CE.(2)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BDCE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?写结论,并说明理由.(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BDCE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?写出结论,可不说明理由.3.直线CD经过的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且．（1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若90,90BCA，则（填“”，“”或“”号）；②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是；（2）如图3，若直线CD经过的外部，，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．考点2：利用角相等证明垂直1.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系.BCABECCFABCAEFBEAF0180BCABCABCABCAABCEFDDABCEFADFCEB图1图2图3DQPEFABC2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：CD=BF；(2)求证：AD⊥CF；(3)连接AF，试判断△ACF的形状.变式：如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．FEDBCAGEFDBCA3.如图1，已知△ADC和△EDG都是等腰直角三角形上，连接AE，GC.（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将△EDG绕点D按顺时针方向旋转30°，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.4.如图1，ABC的边BC在直线l上，,ACBC且,ACBCEFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EFFP（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接,APBQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结,APBQ,你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.图1图2图3ECADGGECADlPA(E)BC(F)lQPFEABClQPFEABC