数列的概念

第一章数列§1数列1.1数列的概念传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如他们研究过１，３，６，10,…由于这些数可以用上图中所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数.1361014916类似地，1，4，9，16,…被称为正方形数，因为这些数能够表示成正方形.仔细观察,你能发现这些数的规律吗?我们今天就来学习有关知识——数列！1.了解数列、通项公式的概念，能根据通项公式确定数列的某一项.(重点）2.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.(难点）（1）一个工厂把所生产的钢管堆成下图的形状.从最上面的一排起，各排钢管的数量依次是请看下面几个例子探究点1数列的概念（2）GDP为国内生产总值.分析各年GDP数据，找出增长规律，是国家制定国民经济发展计划的重要依据.根据中华人民共和国2002年国民经济和社会发展统计公报，我国（1998～2002年)这五年GDP值（亿元）依次排列如下：78345,82067,89442,95933,102398.3,4,5,6,7,8,9.①②（3）“人口问题”是我国最大的社会问题之一，对人口数量的估计和发展趋势的预测是我们制定一系列相关政策的基础.新中国成立后，我国已进行了五次全国人口普查，历次全国人口普查公报数据资料见下表：年份19531964198219902000人口数/百万601.93723.071031.881160.021295.33五次普查人口数量（百万）依次排列为：601.93,723.07,1031.88,1160.02,1295.33③（4）正弦函数y=sinx的图像在y轴左侧所有最低点从右向左，它们的横坐标依次排成一列数5913,,,,2222（5）正奇数1,3,5,7，…的倒数排成一列数，，，，7151311（6）某人2014年1～12月工资，按月顺序排列为2100,2100,2100，…，2100⑤④⑥思考：由上面几个例子，你是否能归纳出数列的定义呢？提示：一般地，按一定次序排列的一列数叫作____，数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列一般形式可以写成_____________________,,,,,321naaaa简记为数列，其中数列的第1项也称_____；是数列的第n项，也叫数列的______.n{a}1a，na数列首项通项概念！像数列①，②，③，⑥这样的项数有限的数列，称为________；像数列④，⑤这样的项数无限的数列，称为__________.如数列⑤中，首项；第10项；第n项（通项）.11a19110a121nan有穷数列无穷数列数列的常见分类思考：数列与数集是同一概念吗？提示：数列与数集是截然不同的两个概念，集合中元素有三条性质：确定性、互异性和无序性，而数列中的数是“按一定顺序排列”的.由此可见，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列.如数列2，4，6，8，10与数列10,8,6,4,2是不同的数列，而集合{2,4,6,8,10}与集合{10,8,6,4,2}是同一集合，也就是说，理解数列的概念，关键是理解“按一定顺序排列”的含义.1.()111A.1,0,1,0,B.1,,,234C.2,22,222,D.0,0,0,0,2.{n(n1)}()A.380B.39C.32D.23下面数列是有穷数列的是以下四个数中，是数列中的一项的是BA【即时训练】序号1，2，3，4，…，n,…项1，，31，51，71，121n，在数列⑤中，每一项的序号n与这一项有下面的对应关系：na探究点2数列的通项概念可以看出，这个数列的每一项的序号n与这一项的对应关系可用如下公式表示：na.121nan这样，只要依次用序号1,2,3，…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的项.序号1234…n…项……1a实际上，对任意数列，其每一项的序号与该项都有对应关系，见下表.}{na2a3a4ana因此数列也可以看作定义域为正整数集N+(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.数列④的一个通项公式是n(4n3)a(nN).2例如，数列①的一个通项公式是;7,,3,2,12nnan，如果数列的第n项与n之间的函数关系可以用_________表示成，那么这个式子就叫作这个数列的_________，数列的通项公式就是相应函数的解析式.nana)(nfan一个式子通项公式观察以下数列，并写出其通项公式：12nan)1(2nannna3【即时训练】思考1.是不是所有的数列都有通项公式？提示：不是，数列的通项公式实际是相应的函数解析式，如果数列的项与项数之间没有固定的关系，则该数列就没有通项公式,如上面的数列③就没有通项公式.思考2.根据前几项求数列的通项公式，是不是唯一？提示：不一定，根据数列的前几项，不能唯一确定数列的通项公式，如数列的通项公式可以为：1，n为奇数,0，n为偶数,an=或者an=|sin|.n21,0,1,0，例1.根据下面的通项公式，分别写出数列的前5项..4cos)1((2);21nannannn）（；，，，，7532532131解:（1）在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5,得到数列的前5项为na（2）在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5,得到数列的前5项为na22201.222，，，，【变式练习】根据下面的通项公式，分别写出数列的前5项.1)1(nnannann)1()2(解:（1）在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5,得到数列的前5项为12345,,,,.23456-1，2，-3，4，-5.（2）在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5,得到数列的前5项为；.例2.写出下面数列的一个通项公式.（1）3,5,7,9，…（2）1,2,4,8，…（3）9,99,999,9999，…解:（1）观察知，这个数列的前4项都是序号的2倍加1，所以它的一个通项公式为；12nan（2）这个数列的前4项可以写成20,21,22,23，所以它的一个通项公式为;21nna（3）这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1000-1,10000-1，所以它的一个通项公式为.110nna写出下面数列的一个通项公式.【变式练习】(1)-1,,-,,-,,…;3436321315(2)7,77,777,7777,…;(3)【解析】(1)(2)(3)an=(-1)n2+(-1)nnan=(10n-1)79an=2n(2n-1)(2n+1)2468.3153563,,,据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．【提升总结】1.下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是()A．an＝1B．an＝－1n＋12C．an＝2－|sinnπ2|D．an＝－1n－1＋32【解析】由an＝2－|sinnπ2|可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….2．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式an是()A.n2n＋1B.n2n－1C.n2n－3D.n2n＋3【解析】由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n2n－1.CB3．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝()A．2n－1B．n2C.n＋12n2D.n2n－12【解析】设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，当n≥2时，an＝TnTn－1＝n2n－12.D4．已知数列{an}满足ast＝asat(s，t∈N＋)，且a2＝2，则a8＝________.【解析】令s＝t＝2，则a4＝a2×a2＝4，令s＝2，t＝4，则a8＝a2×a4＝8.85．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；【解析】(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式an＝2(n＋1)(n∈N＋)．(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×1nn＋1.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式an＝a，n为奇数，b，n为偶数.(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．【特别提醒】6.已知数列{an}的通项公式an＝(－1)n(n＋1)(2n－1)(2n＋1).(1)写出它的第10项；(2)判断233是不是该数列中的项．【解析】(1)a10＝(－1)10×1119×21＝11399.(2)令n＋1(2n－1)(2n＋1)＝233，化简得：8n2－33n－35＝0，解得n＝5.当n＝5时，a5＝－233≠233.∴233不是该数列中的项．回顾本节课的收获数列的概念数列的概念注意与函数、集合进行比较数列通项公式的求法观察分析法做事，不是人家要我做才做，而是人家没要我做也争着去做.这样才做得有趣味，也就会有收获.——谢觉哉