层次分析法

1层次分析法（AnalyticHierarchyProcess，简称AHP）•一、层次分析法概述•二、AHP的基本原理•三、AHP的求解步骤•四、应用实例2一、层次分析法概述美国运筹学家Saaty教授于二十世纪70年代提出的一种实用的多方案或多目标的决策方法。主要特征是：合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。1982年被引入国内后迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。3二、层次分析法的基本原理层次分析法的基本思想：是把复杂问题分解为若干层次，在最低层次通过两两对比得出各因素的权重，通过由低到高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目标的权数，权数最大的方案即为最优方案。4层次分析法的基本假设：是层次之间存在递进结构，即从高到低或从低到高递进。层次分析法的基本方法：是建立层次结构模型。建立层次模型的步骤如下：（1）明确问题，搞清楚涉及的因素以及因素相互之间的关系。(2)将决策问题层次化，划分为总目标层、分目标层和方案层。5三、求解步骤（1）建立层次结构模型；（2）对各层元素两两比较，构造判断矩阵；（3）求解判断矩阵的特征向量，并对判断矩阵的一致性进行检验；（4）一致性检验通过后，确定各层排序加权值，若检验不能通过，需要重新调整判断矩阵；（5）得出层次总排序。6层次单排序求解过程构造判断矩阵C求C的特征向量求C的最大特征值结束一致性收敛判断修改判断矩阵C是否7(一)判断矩阵概念：设Wi表示反映第i个方案对于某个最低层目标的优越性或某层第i个目标对于上层某一目标的重要性的权重，以每两个方案（或子目标）的相对重要性为元素的矩阵A称为判断矩阵。8判断矩阵是层次分析法的核心。111122221212................................nnnnnn9判断矩阵中各元素的确定——标度对任意两因素的相对重要性进行判断，并予以量化。1～9标度方法列表如下：标度定义(比较因素i与j)1因素i与j一样重要3因素i比j稍微重要5因素i与j较强重要7因素i与j强烈重要9因素i与j绝对重要2，4，6，8介于以上相邻两种情况之间倒数两目标反过来比较10设，则判断矩阵的元素具有三条性质：1(2);ijijaa(3);ijikkjaaaiijjWaWija满足这三条性质的判断矩阵，称为完全一致性判断矩阵。n阶完全一致性判断矩阵的最大特征根为其余特征根为0。11121321222312nnnnaaaaaaAaaa(1)1;iiamax;n11(二)权重的确定方法设判断矩阵为：为的特征根，为特征根所对应的特征向量。A12(,,,)Tn111122221212................................nnnnnn12特征向量近似解法（1）将判断矩阵每一列归一化：1,1,2,,ijijnkjkaaijna（2）将每一列经归一化后的矩阵按行相加：11,2,,niijjMain1，和积法：13（3）将向量归一化：11,2,,iinjjMWinM（4）计算判断矩阵最大特征根max1(),niiiAWnW12(,,,)TnMMMM所求得即为所求特征向量。12(,,,)Tn其中表示向量的第个元素。()iAWAWi14（1）计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根：（2）将向量归一化：2，方根法：11,2,,nniijjWain12(,,,)Tn11,2,,iiniiWWinW所求得即为所求特征向量。12(,,,)Tn15（3）计算判断矩阵最大特征根max1(),niiiAWnW其中表示向量的第个元素。()iAWAWi16(三)一致性检验•构造好判断矩阵后，需要根据判断矩阵计算针对某一准则层各元素的相对权重，并进行一致性检验。虽然在构造判断矩阵A时并不要求判断具有一致性，但判断偏离一致性过大也是不允许的。因此需要对判断矩阵A进行一致性检验。•通过计算一致性指标和检验系数进行检验。17•CI，度量判断矩阵偏离一致性的指标Max-nCIn1＝•CI愈大，判断矩阵的一致性愈差；•λMax-n愈大，CI愈大，矩阵的一致性愈差；•CI=0，判断矩阵具有完全一致性。18•RI，平均随机一致性指标，是足够多个根据随机发生的判断矩阵计算的一致性指标的平均值。•3—9阶矩阵的RI取值见下表：阶数3456789RI0.580.901.121.241.321.411.4519•CR，检验系数CICRRI＝•CR愈小，判断矩阵的一致性愈好；•一般地，当CR0.1时，可认为判断矩阵具有满意的一致性。否则需要调整判断矩阵，直至满意的一致性。20(四)层次总排序利用同一层次中所有层次单排序的结果，就可以计算针对上一层次而言的本层次所有元素的重要性权重值，这就称为层次总排序。层次总排序需要从上到下逐层顺序进行。对于最高层，其层次单排序就是其总排序。若上一层次所有元素A1，A2，…，Am的层次总排序已经完成，得到的权重值分别为a1，a2，…，am与aj对应的本层次元素B1，B2，…，Bn的层次单排序结果为：123nji,,,,'(A0)jjjjjibbbbBb这里，当与无联系时，21(四)层次总排序城市投资环境基础设施0.3社会环境0.1经济水平0.6交通运输及发展水平0.426邮电通讯发展水平0.256教育科技发展水平0.377医疗服务水平0.251工业发展水平0.249对外经济联系度0.11电力供应状况0.097城市化水平0.13固定资产投资效益0.334。。。。。。。。。22城市公交系统优化满足乘客要求S1降低公交成本S2提高社会效益S3迅速T1舒适T5提高服务水平T6增加企业收入T7降低能源消耗T8控制环境污染T9准点T4方便T3安全T223层次总排序表111nmjjiijab24总一致性检验在(1)式中，CI为层次总排序的一致性指标，CIj为与aj对应的B层次中判断矩阵的一致性指标；在(2)式中，RI为层次总排序的随机一致性指标，RIj为与aj对应的B层次中判断矩阵的随机一致性指标；在(3)式中，CR为层次总排序的随机一致性比例。同样，当CR＜0.10时，则认为层次总排序的计算结果具有令人满意的一致性；否则，就需要对本层次的各判断矩阵进行调整，从而使层次总排序具有令人满意的一致性。11CIRImjjjmjjjaCIaRICICRRI(1)(2)(3)25四、实例例在城市公共交通系统中，针对“如何降低事故发生率”，可采取如下措施：P1：实行经济责任制；P2：加强职工培训(智力投资)；P3：加强交通管制(对行车安全有较大影响)；P4：发展快速电车；P5：修建人行天桥；P6：疏通瓶颈卡口；P7：合理限制自行车。如何确定上述措施对于目标的重要性次序(即权重)，从而为最终决策提供依据？26措施P1P2P3P4P5P6P7P111/31/451/71/51/7P2311/271/41/31/7P342171/31/21/5P41/51/71/711/81/61/9P57438121/3P653261/211/5P77759351求解：1，构造判断矩阵272，求最大特征值及特征向量(1)将判断矩阵每列归一化P1P2P3P4P5P6P7P11.0000.3330.2505.0000.1430.2000.143P23.0001.0000.5007.0000.2500.3330.143P34.0002.0001.0007.0000.3330.5000.200P40.2000.1430.1431.0000.1250.1670.111P57.0004.0003.0008.0001.0002.0000.333P65.0003.0002.0006.0000.5001.0000.200P77.0007.0005.0009.0003.0005.0001.000Sum27.20017.47611.89343.0005.3519.2002.13028P1P2P3P4P5P6P7SumP10.0370.0190.0210.1160.0270.0220.0670.309P20.1100.0570.0420.1630.0470.0360.0670.522P30.1470.1140.0840.1630.0620.0540.0940.719P40.0070.0080.0120.0230.0230.0180.0520.144P50.2570.2290.2520.1860.1870.2170.1561.485P60.1840.1720.1680.1400.0930.1090.0940.959P70.2570.4010.4200.2090.5610.5430.4692.861Sum1.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0007.0002，求最大特征值及特征向量(2)归一化后的矩阵按行加总(3)将列向量归一化即得特征向量WW=(0.044,0.075,0.103,0.021,0.212,0.137,0.409)T,(4)计算最大特征值λMax=7.691CW=(0.316,0.563,0.797,0.150,1.707,1.102,3.267)T,293，一致性检验Max-n7.6917CI0.115n171RI1.32CI0.115CR0.0870.10RI1.32＝＝＝＝＝＝＝说明判断矩阵具有较为满意的一致性。30附录：求最大特征值及特征向量定理：设有因素C1，C2，…，Cn和目标D，记iijjCcC对目标D的影响对目标D的影响则得判断矩阵C=(cij)n×n,解矩阵C的特征方程|C-λE|=0，E为单位阵，求特征值λi(i=1,2,…,n)，记最大特征值为λmax,对应的λmax的标准化特征向量为Y=(y1,y2,…,yn)T，则yi(i=1,2,…,n)为因素Ci对目标D的权重。31证明：设指标C1，C2，…，Cn对目标D的影响分别为正数x1,x2,…,xn,记为列向量X=(x1,x2,…,xn)T,通过专家评估得到比较矩阵C的判断矩阵为：111122221212nnnnnnxxxxxxxxxxxxCxxxxxx32设C的特征值为λ，对应的特征向量为Y，解特征方程|C-λE|=0，即11112222121200nnnnnnxxxxxxxxxxxxCExxxxxx33111122220nnnnxxxxxxxxxxxx11111101113412...1110111nrrrnnn111111()0111n3510010()010n(1)ax1()()0;0(2,3,...,)nMinnin36求对应于特征值λMax的特征向量Y，解矩阵方程(C-nE)Y=0，即11112122221212000nnnnnnnxxxnxxxyxxxnyxxxyxxxnxxx3712121212111011100111nnnnnxxxynyxxxynxxx38121112121211111011110111100000nnnnnnnnxxxxynxxxxynyxxxx