中考复习：“一线三等角”构相似经典题型分类训练

“一线三等角”构相似经典题型分类训练(时间:90分钟满分:100分)班级姓名成绩.类型一普通角1.(2分)如图,AB=5cm,AC=3,BD=2cm,∠CAB=∠DBA=a°,点P在线段AB上,AP=时,∠CPD=a°．2.(2分)如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,D是边BC上一动点（不与点B,C重合）,∠ADE=∠B=α,DE交AC于点E,给出下列结论：①图中有2对相似三角形；②线段CE长的最大值为6.4；③当AD=DC时,BD的长为439.其中,正确的结论是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③3.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点D为BC上一点，BD=2．过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE=∠B．（1）求证:ADAB＝DEDC；（2）求线段EC的长度．4.(8分)如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结DE，并作∠DEF=∠B，射线EF交线段AC于F．（1）求证：△DBE∽△ECF；（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；5.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合）连结AD，作∠ADE=∠B，DE交线段AC于E．求证:(1)AD2=AE·AC(2)AB·EC=BD·CD6.(8分)如图①，在△ABC中，AC=BC，点D是线段AB上一动点,∠EDF绕点D旋转，在旋转过程中始终保持∠A=∠EDF，射线DE与边AC交于点M，射线DE与边BC交于点N，连接MN．（1）找出图中的一对相似三角形，并证明你的结论；（2）如图②，在上述条件下，当点D运动到AB的中点时，求证：在∠EDF绕点D旋转过程中，点D到线段MN的距离为定值．类型二45°或60°角7.(2分)如图,在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动（不能到达点B，C），过D作∠ADE=45°,DE交AC于E，若,CE=1,则BD=.第7题图第8题图第9题图8.(2分)如图,等边三角形ABC中，D、E分别在BC、AB上,且∠ADE=60°,CD=2cm,BE=56cm,则AB=.9.(2分)如图,△ABC是等边三角形,点D在边BC上（点D不与点B、C重合）,连结AD,以AD为边作∠ADE=∠ABC,DE交边AC于点E,若AB=2,则EC的最大值是.10.(6分)已知:如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别在边BC、AC上,∠ADE=60°.AB=3,EC=32,求DC的长11.(6分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C=60°,AB=3,BC=7,P为BC边上的一点（不与B、C重合）,过点P作∠APE=60°,PE交CD于点E．若CE=3,求PE的长．类型三90°角12.(2分)矩形ABCD中,点E，F分别在AD、CD上，且BE⊥FE，则图中的三角形①，②，③，④一定相似的是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．①②和③第12题图第13题图第14题图第15题图第16题图13.(2分)如图,已知一次函数y=-21x+1的图象与两坐标轴分别交于A、B,点C在x轴上,AC=4,第一象限内有一个点P,且PC⊥x轴于点C,若以点P、A、C为顶点的三角形与△OAB相似,则点P的坐标为（）A．（4,8）B．（4,8）或（4,2）C．（6,8）D．（6,8）或（6,2）14.(2分)如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,F是CD上一点,且CF=3FD.则图中相似三角形的对数是()A.1B.2C.3D.415.(2分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,点P在线段AB上,当AP为多少时，△PAD与△PBC相似（）A.514B.1C.6D.514或1或616.(2分)如图,点E在线段AB上,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,AC=1,AB=5,EB=2,点P是射线BD上的一个动点,则当BP=时,△CEA与△EPB相似.17.(6分)如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE⊥ED,若AE=4,CE=3BE.求这个四边形的面积．18.(10分)如图，在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,点E为BC的中点,AE⊥DE．（1）求证:△ABE∽△ECD；（2）求证：AE2=AB•AD；（3）若AB=1，CD=4，求线段AD，DE的长．19.(10分)如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF⊥EC交AB于F,连接FC（AB＞AE）．（1）求证：△AEF∽△DCE；（2）△AEF与△EFC是否相似？若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由；（3）设BCAB=k,若△AEF∽△BCF，则k=（请直接写出结果）．20.(10分)四边形ABCD中，点E在边AB上，连结DE，CE．（1）若∠A=∠B=∠DEC=50°，找出图中的相似三角形，并说明理由；（2）若四边形ABCD为矩形，AB=5，BC=2，且图中的三个三角形都相似，求AE的长．（3）若∠A=∠B=90°，AD＜BC，图中的三个三角形都相似，请判断AE和BE的数量关系并说明理由．参考答案1.2或32.D3.（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠ADC是△ABD的一个外角，∴∠ACD=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，又∵∠B=∠ADE，∴∠BAD=∠EDC，∴△ABD∽△DCE，∴ADAB＝DEDC；（2）∵△ABD∽△DCE，∴CDAB=CEBD，∵BC=6，BD=2，∴CD=4，∴48=CE2，解得EC=1．4.（1）∵AB=AC=6，∴∠B=∠C，∵∠BDE=180°-∠B-∠BED，∠CEF=180°-∠DEF-∠BED，∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF，∴△DBE∽△ECF；（2）∵△DBE∽△ECF，∴CEBD＝CFBE，∵F是线段AC中点，∴CF=21AC=3∴BE52＝3BE，∴BE=2或3；5.(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠ADE=∠B,∴∠ADE=∠C，∵∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD；∴ACAD=ADAE,∴AD2=AE·AC.(2)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠ADC=∠BAD+∠B，∠ADC=∠ADE+∠EDC∵∠ADE=∠B,∴∠BAD=∠EDC，又∵∠B=∠C,∴△ABD∽△DCE．∴CDAB=ECBD,∴AB·EC=BD·CD.6.（1）△ADM∽△BND，理由如下：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠A+∠AMD=∠EDF+∠BDN，∠A=∠EDF，∴∠AMD=∠BDN，∴△ADM∽△BND；（2）证明：作DG⊥MN于G，DH⊥AM于H，如图②，由（1）得，△ADM∽△BND，∴△ADM∽△DNM，∴∠AMD=∠NMD，又DG⊥MN，DH⊥AM，∴DG=DH，即在∠EDF绕点D旋转过程中，点D到线段MN的距离为定值．7.28.59.2110.∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=AC，∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，∴∠BAD=∠CDE,∴△ABD∽△DCE,∴ABBD=DCCE.设CD=x,则BD=3-x,∴33x=x32,∴x=1或x=2,∴DC=1或DC=2．11.∵∠APE+∠EPC=∠BAP+∠B,∠APE=∠B,∴∠BAP=∠EPC而∠C=∠B,∴△APB∽△PEC，∴ECBP=PCAB，设BP=x,则PC=7-x，∴3x=x74,解得：x1=3，x2=4，当BP=4时，△CEP为等边三角形，∴PE=CP=3，当BP=3时，PE=13，∴PE的长度为3或13．12.B13.D14.C15.D16.6或3217.易证:△ABE∽△DEA,则AE2=BE·AD.设BE=x,则EC=3x,AD=4x,解得x=2,可得AB=23,面积为163.18.（1）证明：∵AE⊥DE，∴∠AED=90°，∴∠AEB+∠CED=180°-90°=90°，∵∠ABC=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CED，又∵∠ABC=∠BCD，∴△ABE∽△ECD；19.（1）∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，即∠AEF+∠DEC=90°，∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠DEC=∠AFE，∵∠A=∠D=90°，∴△AEF∽△DCE；（2）△AEF∽△ECF．证明如下：延长FE与CD的延长线交于G，∵E为AD的中点，AE=DE，∠AEF=∠GED，∴Rt△AEF≌Rt△DEG．∴EF=EG．∵CE=CE，∠FEC=∠CEG=90°，∴Rt△EFC≌Rt△EGC．∴∠AFE=∠EGC=∠EFC．又∵∠A=∠FEC=90°，∴Rt△AEF∽Rt△ECF；(3)23点拨:要想使两三角形相似，已知的条件有一组直角，那么分两种情况进行讨论：当∠AFE=∠FCB时，那么∠AFE就和∠BFC互余，因此∠EFC就是直角，而∠FEC也是直角因此这种情况是不成立的．当∠AEF=∠FCB时，AE：BC=AF：BF，那么由于E是AD中点，因此BC=2AE，所以我们可得出BF=2AF，即AB=3AF，又根据（1）中AF=GD，AB=CD，我们可在△CEG中根据△EGD和△EDC相似，得出关于GD、ED、DC的比例关系，也就是AF、AB、AE的比例关系，有了AB=3AF，就能求出ED与AF的比例关系，也就求出了BC与AF的比例关系，以AF为中间值即可得出AB与BC的比例关系，也就求出了k的值．20.（1）△DAE∽△EBC，理由是：∵∠A=∠DEC=50°，∴∠ADE+∠DEA=180°-∠A=130°，∠DEA+∠CEB=180°-∠DEC=130°，∴∠ADE=∠CEB，∵∠A=∠B，∴△DAE∽△EBC；（2）设AE=x，则BE=5-x，∵∠ADE＜90°，∠ECB＜90°，∴∠DEC=90°，∴△DAE∽△EBC，解得：x=1或4，即AE=1或4；（3）AE=BE或BE=2AE，理由是：①当∠A=∠B=∠DEC=90°时，∠DCE≠∠CEB，可得∠DCE=∠BCE，所以△DEC∽△DAE∽△EBC，②当∠DEC≠90°时，∵△ADE∽△BCE，∠DEA=∠CEB，