等差数列性质

厚德载物教书育人倪老师11、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmeticprogression简记A.P.）,而这个常数就叫做公差（commondifference用字母“d”表示）。2、公差的定义：等差数列中的后一项减去前一项所得的常数为公差：*1()nndaanN；公差可以为全体实数R。【注】判断等差数列的基本方法。3、等差中项的定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，则有2abA。4、等差数列的通项公式：1(1)naand*()nN，其中，1a为数列的首项，n为数列的项数，na为数列的项，d为等差数列的公差。【注】推倒方法：迭代法；累加法。（1）迭代法：11*112231,1,,2,.()23(1)nnnnnnnaSnaadnnNaadaddadadand（2）累加法：11*1,1,,2,.nnaSnaadnnN2132*111,,(1)(1)().nnnnaadaadaandaandnNaad5、对等差数列{}na的一些性质：（1）对于任意正整数n，都有1nnaad（定义式）；（2）对于任意正整数nm、()nm都有()nmaanmd（通项公式的推广式）；（3）对于任意正整数(1)nn都有11nnnnaaaa，即112nnnaaa（等差中项）；（4）对于任意正整数pqrs、、、，若pqrs，则有pqrsaaaa，特别地对任意正整数pqr、、，若2pqr，则有2pqraaa；厚德载物教书育人倪老师2（5）对于任意非零常数k，若数列{}na成等差，公差为d，则{}nka也成等差，且公差为kd；（6）若{}na与{}nb都是等差数列，则{}nma，{}nnmakb也为等差数列（其中,mk为常实数），若nnncab，nnndab，则{}nc，{}nd也是等差数列；（7）等差数列{}na的相邻k项的和仍为等差数列，①12aa，23aa，34+aa，，1nnaa成等差数列；②12aa，34aa，56aa，，1nnaa成等差数列；③12maaa，231maaa，，11kkkmaaa成等差数列；④12maaa，122mmmaaa，，12(1)nmnmnmaaa成等差数列，且公差为2md。（8）等差数列{}na的等间隔的项（或其相同项数的和）仍为等差数列，①13521,,,,,naaaa成等差数列；②14732,,,,naaaa成等差数列；【注】即下标成等差数列的项仍为等差数列。（9）若数列{}na为公差为d的等差数列，①若n为奇数，则nSna中且SSa奇中偶，11SnSn奇偶；②若n为偶数，则=2ndSS奇偶。6、等差数列通项公式的其他函数性质：（1）等差数列的一个充要条件：数列的通项公式是napnq（可证明pd公差）7、等差数列和的通项公式：1(1)2nnndSna或1()2nnnaaS，其中，nS为等差数列前n项和。【注】推倒方法：公式法；倒序求和厚德载物教书育人倪老师3（1）公式法：*12311111(1)()(2)[(1)]()2nnnndSaaaaaadadandnanN（2）倒序求和：123121nnnnnnSaaaaSaaaa①②①式+②式子有，*112111()2()()()()()2nnnnnnnnaaSaaaaaanaaSnN8、等差数列{}na中，其通项是关于正整数n的一次函数(0)d，(,)nna是直线上的一群孤立的点，可借助直线方程的斜率知识理解mnaadmn及相关性质。9、等差数列{}na的首项是1a，公差是d，其前n项和nS可以写成2nSAnBn，其中，2dA，12dBa，当0d时，它表示一个二次函数。10、数列{}na的前n项和2nSAnBn是{}na成等差数列的充要条件。11、等差数列的增减性：（1）当公差0d时，为递增数列，且当10a时前n项和nS有最小值；（2）当公差0d时，为递减数列，且当10a时前n项和nS有最大值；12、有关数列设未知数的技巧：（1）三个数成等差一般设为：,,adaad或,,2aadad。（2）四个数成等差一般设为：3,,,3adadadad（注意：此设法数列公差不是d，而是2d）。13、常用关系式：1111()()nnkknnk*nN，特别地111(1)1nnnn，1*1,1,,2,.nnnSnaSSnnN14、若等差数列{}na的前21n项和为21nS，等差数列{}nb的前21n项和为21nT，则2121nnnnSaTb。15、常用数列的通项公式：厚德载物教书育人倪老师41正偶数列：2,4,6,8,10,2nan*()nN2正奇数列：1,3,5,7,9,21nan*()nN