理论力学谢传锋第九章习题解答

1第九章部分习题解答9－2解：取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为重力gMgM21,。如图（a）所示，假设重物2M的加速度2a的方向竖直向下，则重物1M的加速度1a竖直向上，两个重物惯性力I2I1,FF为11I1aMF22I2aMF（a）该系统有一个自由度，假设重物2M有一向下的虚位移2x，则重物1M的虚位移1x竖直向上。由动力学普遍方程有（a）02I21I12211xFxFxgMxgMW（b）根据运动学关系可知2121xx2121aa（c）将(a)式、(c)式代入(b)式可得，对于任意02x有212122m/s8.2424gMMMMa（b）方向竖直向下。取重物2M为研究对象，受力如图（b）所示，由牛顿第二定律有222aMTgM解得绳子的拉力N1.56T。本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。9－4解：如图所示该系统为保守系统，有一个自由度，取为广义坐标。系统的动能为2])[(21RlmT取圆柱轴线O所在的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为]cos)(sin[RlRmgVM1gM2gFI2FI1δx2δx1M2gTa22拉格朗日函数VTL，代入拉格朗日方程0)(LLdtd整理得摆的运动微分方程为0sin)(2gRRl。9－6解：如图所示，该系统为保守系统，有一个自由度，取弧坐标s为广义坐标。系统的动能为221SmT取轨线最低点O所在的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为mghV由题可知bsdsdh4sin，因此有bsdbshSo8s42。则拉格朗日函数22821sbmgsmVTL代入拉格朗日方程0)(sLsLdtd，整理得摆的运动微分方程为04sbgs。解得质点的运动规律为)21sin(0tbgAs，其中0,A为积分常数。9－13解：1.求质点的运动微分方程圆环（质量不计）以匀角速度绕铅垂轴AB转动，该系统有一个自由度，取角度为广义坐标。系统的动能为22)sin(21)(21rmrmT如图所示，取0为零势位，图示瞬时系统的势能为零势面h零势面3)cos1(mgrV则拉格朗日函数)cos1()sin(212222mgrmrVTL代入拉格朗日方程0)(LLdtd，整理得质点的运动微分方程为0sin)cos(2rg2.求维持圆环作匀速转动的力偶M如果求力偶M，必须考虑圆环绕铅垂轴AB的一般转动。因此解除“圆环绕铅垂轴AB匀速转动”这一约束，将力偶M视为主动力。此时系统有两个自由度，取角度和圆环绕轴AB的转角为广义坐标，系统的势能不变，动能表达式中以代替，则拉格朗日函数为)cos1()sin(212222mgrmrVTL力偶M为非有势力，它对应于广义坐标和的广义力计算如下：取0,0，在这组虚位移下力偶M所做的虚功为0][W，因此力偶M对应于广义坐标的广义力0MQ；取0,0，在这组虚位移下力偶M所做的虚功为MW][，因此力偶M对应于广义坐标的广义力MWQM][。代入拉格朗日方程0)(MQLLdtd，整理可得0sinrg代入拉格朗日方程MQLLdtdM)(，整理可得Mmrmr2sinsin222圆环绕铅垂轴AB以匀速转动，即0,，代入上式可得2sin2mrM。零势位49－14解：以刚体为研究对象，有一个自由度。如图（a）所示，取GO3和OC的夹角为广义坐标。若以框架OCOO21为动系，则刚体的相对运动是以角速度绕轴21OO的定轴转动，牵连运动是以角速度绕OC轴的定轴转动，绝对角速度a是和的矢量和。以21OO为x轴，GO3为y轴，建立一个固连在刚体上的坐标系，该刚体的角速度a可表示成azjisincosθ（a）（b）由于坐标系zyxO3的三个坐标轴为过3O点的三个惯量主轴，则系统的动能为])sin()cos([21232221JJJT取0为零势位，图示瞬时系统的势能为)cos1(mglV，则拉格朗日函数)cos1(])sin()cos([21232221mglJJJVTL代入拉格朗日方程0)(LLdtd，整理可得物体的运动微分方程为sincossin)(3221mglJJJ9－15x’z’y’z’GO3θ垂直于O1O2的平面y’5解：框架（质量不计）以匀角速度绕铅垂边转动，系统有一个自由度，取AB杆与铅垂边的夹角为广义坐标。若以框架为动系，AB杆上任意一点的速度是该点相对于框架的相对速度和随框架运动的牵连速度的矢量和，且相对速度和牵连速度相互垂直,因此杆AB的动能可表示为相对于框架运动的动能和随框架转动的动能之和。如图所示，AB杆相对于框架作平面运动，“速度瞬心”为O点，设AB杆的质心为C，由几何关系可知lBCOCAC，则质心为C的速度大小为lvC。杆AB相对于框架运动的动能22222C132])2(121[2121mllmmvT杆AB随框架转动的动能2222022sin32)sin(221mlxdxlmTl系统的动能21TTT。假设090时杆势能为零，则任意位置系统的势能为cosmglV。则拉格朗日函数cos)sin(322222mglmlVTL代入拉格朗日方程0)(LLdtd，整理得系统的运动微分方程0sin3cossin442gll由于角描述的是杆AB相对于框架的位置变化，因此上式也就是杆的相对运动微分方程。9－17解：取楔块A，B构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取楔块A水平滑动的位移x，以及楔块B相对于A滑动的位移s为广义坐标。若以楔块A为动系，则楔块A的速度Av，楔块B的速度Bv，以及B相对于A的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）BrABvvv系统的动能为COxsAvBrv6])sin()cos[(222121222212BB2AAssxgPxgPvmvmT22222121cos1)(21sPgsxPgxPPg取过x轴的水平为零势面，某瞬时系统的势能为sin2sPV。则拉格朗日函数sin21cos1)(212222221sPsPgsxPgxPPgVTL水平力F对应于广义坐标x和s的广义力计算如下：取0,0sx，在这组虚位移下力F所做的虚功为xFWx][，因此力F对应于广义坐标x的广义力FQFx；取0,0sx，在这组虚位移下力F所做的虚功为sFWscos][，因此力F对应于广义坐标s的广义力cosFQFs。代入拉格朗日方程FQxLxLdtdFx)(，整理可得FgsPxPPcos)(221（a）代入拉格朗日方程cos)(FQsLsLdtdFs，整理可得gPFsPxP)sincos(cos222（b）由方程（a）、（b）解得楔块A的加速度：sinsincossin2212AgPPPFxa，方向水平向右。楔块B的相对加速度：gPPPPPPFPsa)sin(sin)(cos22122211Br，方向沿斜面向上。9－18解：取楔块ABC和圆柱构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度，取楔块水平滑动的位移x，以及圆柱的转角（A点=0）为广义坐标。若以楔块为动系，则楔块的速度Av，圆柱轴心O的速度ov，以及轴心O相对A的相对速度满足如下的矢量关系7（方向如图所示）OrAOvvv圆柱在斜面上作纯滚动有：rvOr。系统的动能为2212O12A)21(212121rmvmmvT221221241])sin()cos[(2121rmrrxmxm22112143cos)(21rmxrmxmm取过楔块上A点的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为sin1rgmV则拉格朗日函数sin43cos)(211221121rgmrmxrmxmmVTL代入拉格朗日方程0)(xLxLdtd，整理可得0cos)(11rmxmm（a）代入拉格朗日方程0)(LLdtd，整理可得sin2cos23gxr（b）求解方程（a）、（b）得楔块的加速度：gmmmmxa2111cos2)(32sin，方向水平向左。圆柱的角加速度：grmmmmm]cos2)(3[sin)(22111，顺时针方向。9－21解：以三个重物和滑轮构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度（如图所xφAvOrv零势面8示）。设重物1M的坐标为1x，重物2M相对于滑轮B的轮心的位置为2x。系统的动能为22132212211)(21)(2121xxmxxmxmT2123223221321)()(21)(21xxmmxmmxmmm设021xx时系统的势能为零，则任意位置系统的势能为)()(21312211xxgmxxgmgxmV2321321)()(gxmmgxmmm拉格朗日函数2123223221321)()(21)(21xxmmxmmxmmmVTL2321321)()(gxmmgxmmm代入拉格朗日方程0)(11xLxLdtd，整理可得0)()()(3212321321gmmmxmmxmmm（a）代入拉格朗日方程0)(22xLxLdtd，整理可得0)()()(32132232gmmxmmxmm（b）由方程（a）、（b）解得重物1M的加速度gmmmmmmmmmmxa3232132321114)(4)(，初始时刻系统静止，若使1M下降则01a，即：323214mmmmm。9－22解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取平台的水平坐标x，以及物体M相对于平台的坐标s（弹簧原长为坐标原点）为广义坐标。系统的动能为x1x292221)(22sxgPxgPT222221211)(21sPgsxPgxPPg设初始时刻势能为零，则任意时刻系统的势能为221ksV则拉格朗日函数222222121211)(21kssPgsxPgxPPgVTL水平力F对应于广义坐标x和s的广义力计算如下：取0,0sx，在这组虚位移下力F所做的虚功为xFWx][，因此力F对应于广义坐标x的广义力FQFx；取0,0sx，在这组虚位移下力F所做的虚功为0][sW，因此力F对应于广义坐标s的广义力0FsQ。代入拉格朗日方程FQxLxLdtdFx)(，整理可得FgsPxPP221)(（a）代入拉格朗日方程0)(FsQsLsLdtd，整理可得022kgssPxP（b）由方程（a）)可得：sPPPPPFgx)()(21221（c）代入方程（b）得：FgPkgsPPsPP22121)(（d）解微分方程（d）得