袁晖坪线性代数教材习题答案提示

1/14第一章行列式与Cramer法则第一章知识清单1.行列式定义：121211221112121212121,nnnnniiijjjnijijijijnnnnaaaaaaaaaaaa说明1）121,nnnkikkiiitktikkktiii：在左边比打的数的个数.说明2）：行列式中每行均由不同行不同列的元素之积构成2.计算方法基本方法：1）化为三角式；2）降阶法：10nikjkkDijaAij常用方法：利用定义或性质，拆解法，升阶法，递推法。特殊行列式：上三角式，对角式，范德蒙行列式。3.行列式性质（5条）行列等同；两行互换值相反；数乘行列式；行列式加法；第三种初等行变换不改变行列式的值。4.克莱姆法则2/14nnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222212111212111.nAxb即：解：12,,,TnDDDxDDD，.nDA推论：0.nnAxoA有非零解基本作业建议A组：1，4，6（1），7（1），8,10(1)；B组：一（1），（6）；二（3），（4）一（A）4（1）：列标：54243，表明第四列有两元素：否;(2):24531452131.一（A）5：23412143123412342132341411,aaaaaaaa.一（A）6(5)：32142222222222323421212121212121210444444442222696969696666,,irrrrrriabcdabcdabcdabcdDabcdabcd一（A）7(1)，(2)：同6（3），见课件例1.15—1.18。四种方法：11123,,,niiicrrinDD提公因式方法一：上三角式；123,,,irrinD方法二：箭形行列式12312312312312310000nnnnnaaaaabaaaaabaaaaabaaDaaab加边方法三：1231,2,311000100010001000nirrinaaaabbbb12323123231232312323000nnnnnnnnaaaacaaaaacaaacaaaaacaaacaaaaacaaacD拆解方法四：略.3/14一（A）7（3，5，6，7）同类型，见课件与课本例题1.9：。（3）：111niiccDD方法一：下三角式，111cnnDbD方法二：+下三角式递推式，231,,,njnjjccD方法三：下三角式（5）：111cnnDbD方法一：+下三角式递推式，1231,,,jjabnjnjjccD方法二：下三角式（6）：11nrncD方法一：A+对角式，A对角式.231,,,abnjnnccD方法二：次下三角式（7）：课本例题1.12一（A）7（4）：拆解。一（A）7（8）：见课本例题1.15.一（A）10：系数行列式=0.要求：耐心，细致！一（B）1（3）：4112312234,,iiicrrrriDDD上三角式一（B）1（4）：41213141111,iicrrrrrrcxDD，三角式一（B）1（5），类一（A）5：1424134213231212122rrrrcrrDDDxxxx定义+=13213211233212121.xxxaaa其中:一（B）1（6）（7）（10）同课本例题1.15：一（B）1（11）类同一A(10)一（B）2（1）特例法：100,,ijijijijaamij取即一（B）2（2）类一（B）1（5），由定义：314232411112211221一（B）2（3）：排除法。请记忆结论（D）一（B）2（4），同一（A）104/14一（B）3（1），参见课件例1.18。类一（A）7（1），（2）：123,,,,irrinD各列提公因式方法一：箭形行列式；方法二：加边；方法三：拆解.一（B）3（2）：11111112123,,,,,,,jjincccrrcnnnnjnninDABC对角式。第二章矩阵第二章知识清单1.矩阵的线性运算（加法与数乘）与矩阵的乘法注意：矩阵乘法无交换律与消去律.2.矩阵的逆与线性方程组的矩阵解法1）有关公式：11**AAAEAAA；;)(111ABAB111)(AkkA,,nmnmnmmnAAAAAmnZ，由此得：,1PPA(),nmZkkkmfAaA1()().fAPfP1212(,,,)(,,,),kkkknndiagdiagkZ112()()(,,,).nfAPfPdiagfff2）有关方法：求逆矩阵：直接用定义（例：待定系数法）；伴随阵法；初等变换法。5/14解矩阵方程：逆矩阵法:1.nAXBXAB初等变换法：1111,,,..rnnAXBABEABXABBEXA）2,,.rAXBAB）行最简形选择自由未知量，给出方程的解（最佳形式）3.转置阵的性质基本作业建议A组：4，6，9，10（4），14，15，17，18，19，24，28，29（4），（5）；B组：一（2），（6），（7）；二（1）——（9）二（A）7：0,,,.abaBABBABaccdca可任取二（A）10：方法一，归纳；方法二，二项式定理.例：10（4）2130100030010010000002002000nnBOnAB二（A）16：123221kkkkkkkababaabababb12kkkEAEAEAAAE二（A）17：AE问：？24AAEEE.二（A）18：11**AAAEAAA二（A）19：1111111533355***AAAAAAAAAAAAA331122835555525.AAEAEEEA二（A）20：2222ABABAEBAAEE22(AEBEE略）.6/14二（A）23(1):23121133cccccA原式.(2):1212132122cccccA原式.(3):123311233212331235232,,ccccccccAAAAAA原式.二（A）26:1222,AXAXXAEAXAEA,122,,rAEAAEAE.二（A）28:11111666,AAEABAABAAEBAABAE可逆,122,,rAEAAEAE.二（A）30:由一（A）7（1）:331Akk，1430kM检验知：，合题意.二（A）31:类30：32213122123123022330223302233003333rrrrrkrkkAkkkkkkkk.22333332321kkkkkk12310001000~;rkArA12620692000~;rkArA212312022333003333~.rkkkAkkrAkk且二（B）1（1）：11BB；二（B）1（2）：233TTTTTTT13.nTnT二（B）1（3）：分块对角阵。二（B）1（4）：2BAEE.7/14二（B）1（5）：3031202001010101011.aA可逆,二（B）1（6）：B可逆，于是：rBArA.二（B）1（7）：11**AAAEAAA二（B）1（7）：11**AAAEAAA二（B）1（8）：方法一，归纳；方法二：，22213213132132,,,,AEEAEEEEEEA即22AA，12nnAA，122222nnnnAAAAAAOO。二（B）1（9）：类二（B）（2）：221222TTnnAAAA，11311202002202.nnnnnnaaEAaaaa二（B）1（10）：222111111111,,TTaabacabcbabbccacbc设，2223Tabc二（B）2（1）：排除法二（B）2（2）：方法与答案同上二（B）2（3）：利用对称阵的定义与性质二（B）2（4）：排除法二（B）2（5）：1ABC.二（B）2（6）:111?ABAB二（B）2（7）:3030*ijrAArAAAAE又41**,,rArArA综上得：二（B）2（8）:11*******.nnAAAEAEAAAAA二（B）2（9）:00.AB初等变换不改变矩阵的秩二（B）2（10）:33.EAEAEEA矩阵多项式不可逆8/14二（B）2（11）:111**.OACCCCCCBOC1211111**,.nnOBBAOOBCABCOBAOAOA行,列交换各次11*****.OBBOABCABBAOAOA二（B）2（12）:11121121121121,,,,,.PEPECEAEPAP二（B）3(1):26TT二（B）3(2):122,.AEBAEAEAEBEBAE检验知：可逆二（B）3():(略)二（B）3(4)，第一小题:1212,,,,,,TTTTnnA2TijijAAAO00.iiiAO二（B）3(4)，第二小题:212121212121212110.TTnnnnnnnnAAAAAAA二（B）3(4)，第三小题:111.TTAAA二（B）3(5)：111111.XOXOABCCBXC待定系数法二（B）3(6)：11,,EABECEAABEACAEA1.BCE