小船渡河专题

一、小船渡河问题的分析方法◆．小船渡河问题的分析方法：方法一：小船在有一定流速的水中渡河时，将船渡河的运动看作参与两个方向的分运动，即随水以速度v水漂流的运动和以速度v船相对于静水的划行运动，这两个分运动互不干扰具有等时性。方法二：将船对水的速度沿平行于河岸和垂直河岸方向正交分解。注意：船的实际运动v（相对于河岸的运动）——是合运动。方法技巧1.处理方法小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，船的实际运动是两个运动的合运动.2.二种情景(1)渡河时间最短：若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图所示，此时过河时间t＝dv1(d为河宽)．(2)小船渡河路径最短(v1＞v2)：小船垂直河岸过河航程最短，最短航程为d；若小船要垂直于河岸过河，应将船头偏向上游，如图所示，此时过河时间t＝dv合＝dv1sinθ.问题1：小船如何渡河时间最短？◆．小船渡河问题的分析方法【例1】一条宽度为L的河流，已知船在静水中的速度为V船，水流速度为V水，那么：Lv水【解析】设船头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量：v船θv2v1v1=v水sinθ渡河所需时间为：t=L/v水sinθ船头与河岸垂直时，渡河时间最短：tmin=L/v水方法技巧2.船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2.为使船行驶到河正对岸的码头，则v1相对v2的方向应为()解析：为使船行驶到正对岸，必须使v1、v2的合速度方向指向正对岸，只有C图象正确．答案：C◆．小船渡河问题的分析方法【例2】一条宽度为L的河流，已知船在静水中的速度为V船，水流速度为V水，那么：问题2：若V船V水，怎样渡河位移最小？【解析】渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度V的方向与河岸垂直。这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。Lv船θv水v根据三角函数关系有：V水cosθ─V船=0.∵0≤cosθ≤1∴只有在V船V水时，船才有可能垂直于河岸横渡。方法技巧【练3—1】小船在静水中速度为v，今小船要渡过一条小河，船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直.若航行到河中间时，水流速度增大，则渡河时间与预定的时间相比（）A.减少B.不变C.增加D.无法确定【解析】小船实际上参与了两种运动.一种是垂直河岸的以恒定速度来渡河，另一种是随水以水流速度向下漂移.而渡河时间只由河宽与垂直河岸的速度共同来决定，由分运动的独立性可知，水流速度不影响渡河时间，它只影响小船登陆地点和运动轨迹.B【练3—2】（满分样板12分）河宽L＝300m，水速u＝1m/s，船在静水中的速度v＝3m/s，欲分别按下列要求过河时，船头应与河岸成多大角度？过河时间是多少？（1）以最短时间过河；（2）以最小位移过河；（3）到达正对岸上游100m处．渡河问题分析与计算解题样板规范步骤，该得的分一分不丢！【解析】（1）以最短时间渡河时，船头应垂直于河岸航行，即与河岸成900角．最短时间为：t＝Lv＝3003s＝100s……（2分）Lvuv合θ（2）以最小位移过河，船的实际航向应垂直河岸，即船头应指向上游河岸．设船头与上游河岸夹角为θ，有：Lvθuv合vcosθ=u，θ=arccosu/v=arccos1/3.……（2分）sinθ＝1－cos2θ＝223渡河时间为t＝Lvsinθ＝3003×sinθs≈106.4s．……（1分）……（2分）（3）设船头与上游河岸夹角为α，则有：Luvavcosavsinax（vcosα－u）t＝x……（2分）vtsinα＝L……（2分）两式联立得：α＝53°，t＝125s．……（1分）【答案】见解题样板二、绳(杆)连接物问题绳子末端运动速度的分解，应按运动的实际效果进行分解如图所示，人用绳子通过定滑轮拉物体A，当人以速度v0匀速前进时，物体A的实际运动也即为物体A的合运动(即绳的末端的运动)可看做两个分运动的合成：(1)沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度即等于v0.(2)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，求得物体A的速度vA＝v0cosθ.四、绳子末端速度的分解方法【例4】如图所示，绳子以恒定速率v沿水平方向通过定滑轮牵引小船靠岸，当绳子与水面夹角为θ时，船的速度为多大？vθABCv∥v⊥v船【解析】1．沿绳子方向两个绳连接的物体沿绳子方向的速度大小相等（v∥=v）。2．当绳与物体运动方向有夹角时，沿绳子方向和垂直绳子方向速度为分速度.物体运动的方向为合速度方向。v船=v/cosθ◆．绳子末端速度的分解方法【练4—1】如图所示，汽车沿水平路面以恒定速度v前进，则当拉绳与水平方向成θ角时，被吊起的物体M的速度vM为多大？θv∥v⊥vvM【解析】寻找分运动效果。vM=v·cosθ物体M处于平衡？超重？失重？【练4—2】如图所示，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A，用细绳通过定滑轮拉动物体B在水平桌面上运动，当绳与水平面夹角为θ时，物体B的速率为多大？【解析】寻找分运动效果ABvsinvv【答案】vB=vsinθ◆．实例分析——小结：1．渡河问题：2．斜拉问题：（1）要使过河的时间最短，则船头必须垂直河岸；（2）要使过河的位移最短：①.若v船v水,则船头必须指向河岸上游方向，使合速度垂直河岸，最小位移等于河宽。②.若v船v水,只有当V船⊥V合时，过河的位移最小。物体的运动为合运动，绳的运动为其中一个分运动．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是()A.绳的拉力大于A的重力B.绳的拉力等于A的重力C.绳的拉力小于A的重力D.拉力先大于重力，后小于重力【点拨】速度分解→运用三角函数→利用牛顿运动定律计算解析：车水平向右的速度(也就是绳子末端的运动速度)为合速度，它的两个分速度v1、v2如图所示，其中v2就是拉动绳子的速度，它等于A上升的速度．由图得v1＝vsinθ，v2＝vcosθ，小车匀速向右运动过程中，θ逐渐变小，可知v2逐渐变大，故A做加速运动，由A的受力及牛顿第二定律可知绳的拉力大于A的重力.故选A正确．答案：A小船在河中参与了两个运动，一是小船自身的运动，二是随水流的运动，小船的实际运动是这两个运动的合成，解答时往往想当然地确定分速度方向而不是按照平行四边形定则确定分速度方向．从而造成错误．有一小船正在渡河，离对岸50m时，已知在下游120m处有一危险区，假设水流速度为5m/s，为了使小船不通过危险区到达对岸，小船相对静水的最小速度应是()A.2.08m/sB.1.92m/sC.1.58m/sD.1.42m/s【错解】误认为船头垂直河岸，船的速度最小，则有v1v2＝50120，所以v1＝50×5120m/s＝2.08m/s.答案为A【剖析】由于速度是矢量，矢量的运算法则是平行四边形定则，所以要求解船的最小速度，必须通过做平行四边形定则进行分析．方法一：如图所示小船以最小速度渡河时，从A出发，从B上岸，则AB就是小船的合位移，那么小船的合速度也是沿AB方向.又已知水流速度是5m/s，且沿河岸方向，图中v1等于AC，过C点作AB的垂线交AB于D点，则CD长就是小船的最小速度，由几何关系求得vmin＝1.92m/s，故选B正确．方法二：如图所示，为了使小船有最小速度，船头应斜向上游，与河岸的夹角为θ.将船速v2分解为vx和vy，则vx＝v2cosθ，vy＝v2sinθ.由等时性可知50v2sinθ＝120v1－v2cosθ，整理可得v2＝5v112sinθ＋5cosθ＝2512sinθ＋5cosθ，因为12sinθ＋5cosθ＝13sin(θ＋φ)，所以v2＝25θ＋φ，解得vmin＝1.92m/s【答案】B【备选题】如图所示，A、B两物体用细绳相连，在水平面上向左运动，当α=45°，β=30°时，物体B的速度为2m/s，这时A的速度为多大？AβBαvAvA∥vA⊥vBvB⊥vB∥【解析】沿绳的方向上各点的速度大小相等【拓展】如图所示，长L的杆AB，它的两端在地板和竖直墙壁上，现拉A端由图示位置以速率v匀速向右运动，则B端坐标y和时间的函数关系是：___________。B端滑动的速度是___________。BALbxycosvv【答案】22vtbLyctgvvcosvsinvBBsinvBBv寻找分运动效果2.(2010·广州模拟)如图所示，一个质量为1kg的物体静止在粗糙的水平面上，物体与地面之间的动摩擦因数μ＝0.4.现对物体施加一水平向右的恒力F＝12N，经过t1＝1s后，迅速将该力的方向改为竖直向上，大小不变，则再经t2＝2s，物体相对于地面的高度及物体的速度的大小和方向各为多少？(g＝10m/s2)解析：在改变恒力F方向之前，物体做匀加速直线运动，设加速度为a1，经t1＝1s后的速度为v1，分析物体受力如图甲所示，由牛顿第二定律得F－Ff＝ma1，且Ff＝μmg，解得a1＝8m/s2，则v1＝a1t1＝8m/s.将F改为竖直向上后，受力如图乙所示，此时由于FG，物体将飞离地面做类平抛运动，设此时的加速度为a2，由牛顿第二定律得F－G＝ma2.解得a2＝2m/s2.物体在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，则上升的高度h＝12a2t22＝4m，此时竖直向上的分速度v2＝a2t2＝4m/s，此时物体的速度v＝v21＋v22＝45m/s，设速度和水平方向夹角为，如图丙所示则tanθ＝v2v1＝48＝12，故θ＝arctan12.答案：4m45m/s与水平方向夹角为arctan12好啦、今天的课就讲到这里!!