金属晶体四类晶胞空间利用率的计算

金属晶体四类晶胞空间利用率的计算高二化学·唐金圣在新课标人教版化学选修3《金属晶体》一节中，给出了金属晶体四种堆积方式的晶胞空间利用率。空间利用率就是晶胞上占有的金属原子的体积与晶胞体积之比。下面就金属晶体的四种堆积方式计算晶胞的空间利用率。一、简单立方堆积：在简单立方堆积的晶胞中，晶胞边长a等于金属原子半径r的2倍，晶胞的体积V晶胞=(2r)3。晶胞上占有1个金属原子，金属原子的体积V原子=4πr3/3，所以空间利用率V原子/V晶胞=4πr3/（3×(2r)3）=52.33﹪。二、体心立方堆积：在体心立方堆积的晶胞中，体对角线上的三个原子相切，体对角线长度等于原子半径的4倍。假定晶胞边长为a，则a2+2a2=(4r)2，a=4r/√3，晶胞体积V晶胞=64r3/3√3。体心堆积的晶胞上占有的原子个数为2，原子占有的体积为V原子=2×（4πr3/3）。晶胞的空间利用率等于V原子/V晶胞=（2×4πr3×3√3）/（3×64r3）=67.98﹪。三、面心立方最密堆积在面心立方最密堆积的晶胞中，面对角线长度是原子半径的4倍。假定晶胞边长为a,则a2+a2=(4r)2,a=2√2r,晶胞体积V晶胞=16√2r3。面心立方堆积的晶胞上占有的原子数为4，原子占有的体积为V原子=4×（4πr3/3）。晶胞的空间利用率等于V原子/V晶胞=（4×4πr3）/(3×16√2r3)=74.02﹪.四、六方最密堆积六方最密堆积的晶胞不再是立方结构。晶胞上、下两个底面为紧密堆积的四个原子中心连成的菱形，边长a=2r,夹角分别为60°、120°，底面积s=2r×2r×sin(60°)。晶胞的高h的计算是关键，也是晶胞结构中最难理解的。在晶胞的上、下两层紧密堆积的四个原子中，各有两个凹穴，中间层的原子在上、下两层正对的凹穴中。中间层的原子和上层形成凹穴的三个原子构成一个正四面体；和下层对应的三个原子也构成一个正四面体，这两个正四面体的高之和就是晶胞的高。正四面体的边长为2r,正四面体的高h1=2√2r/√3。晶胞的高为h=4√2r/√3，晶胞的体积V晶胞=(2r×2r×sin(60°)×4√2r)/√3=8√2r3。六方最密堆积的晶胞上占有2个原子，原子的体积V原子=2×（4πr3/3）。晶胞的空间利用率为V原子/V晶胞=（2×4πr3）/（3×8√2r3）=74.02﹪.