§8.2-换元积分法与分部积分法--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

一、换元积分法不定积分是求导运算的逆运算,相应于复合函数求导数的链式法则和乘法求导公式,不定积分有换元积分法和分部积分法.§8.2换元积分法与分部积分法数学分析第八章不定积分二、分部积分法*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法定理8.4（换元积分法）()()fxIxtJ设函数在区间上有定义，在区间上换元积分法,().JI可导且(i)()d()fxxFxCI如果不定积分在上存在，(())()dtfttJ则不定积分在上也存在，且(())()dt(()).fttFtC后退前进目录退出换元积分法(())()dt()fttGtCJ在上存在时,I在上有1()d(()).fxxGxC1(ii)()(),,xtJtxxI如果在上存在反函数()dfxxI且不定积分在上存在,则当不定积分数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法证(i)用复合函数求导法则验证：有d()()()dFtFttt()().ftt换元积分法,tJ因对任何(ii)()d().,fxxFxCtJ设对任何有()()FtGt()()()()0.fttftt()(),CFtGtC所以存在常数，使故1(())()().GxFxfx()()()FttGt数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法定理“不定注积分存在”是(ii)中的一个必要条件.否则结论不成立，例如设31,(0,8]()(),[0,2],0,0,xfxtttx()0,2xt则在[]上存在反函数，且23(())()d3d.fxxxtttC()0,80,fxx而在[]上有第一类间断点()d.fxx所以由达布定理不存在§2换元积分法与分部积分法换元积分法定理8.4(i)通常称为第一换元积分法；(ii)称为第二换元积分法.数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法第一换元积分法亦称为凑微分法,即(1)dd();axax(2)dd();xxa11(3)dd();1xxx(4)cosdd(sin);xxxxxx(5)sindd(cos);1(6)dd(ln);xxx2(7)secdd(tan);xxx2d(8)d(arctan).1xxx常见的凑微分形式有()().Gugu其中()()d()d()gxxxgxx(),GxC换元积分法数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法换元积分法(ii)()0,,(),ttJJI如果将的条件改为(())()dt()fttGtCJ在上存在时,()dfxxI不定积分在上也存在，当不定积分可以直接用复合函数和反函数求导证明.1d(())dGxx1()()()fttt(()).ft1dd(())ddGxtx().fx则1()d(())fxxGxC且有数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法例1).0(d22axax求解22dxax21d1uauCuaarctan1.arctan1Caxa换元积分法2d1=1xaaxa数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法例2).0(d22aaxx求解22dxxa1d()1d()22xaxaaxaaxa||ln21||ln21axaaxa.ln21Caxaxa换元积分法111=d2xaxaxa数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法例3.d12xxx求解21dxxx122211d12xx32212123xC32211.3xC换元积分法122211d()2xx数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法解32sindsinsindxxxxx2(1cos)dcosxx31coscos.3xxC例5.lndxxx求解dd(ln)lnlnxxxxxlnln.xC例4.dsin3xx求换元积分法数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法11sinln.21sinxCx(解法二)secdxxxxxxtansec)tan(secd.|tansec|lnCxx解(解法一)2d(sin)1sinxxsecdxx2cosdcosxxx例6.dsecxx求换元积分法sec(sectan)dsectanxxxxxx数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法解6,xt令得532316ddtxtttxx例731d.xxx求36d1ttt216(1)d1tttt326ln|1|32ttttC3662366ln|1|.xxxxC换元积分法数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法例8.)0(d22axxa求解πsin,||,2xatt设22dcosd(sin)axxatat22cosdatt2(1cos2)d2att2221arcsin.2xaxaxCaCtta2sin2122Caxaxaxa221arcsin2换元积分法数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法求例922d(0).xaax解πtan,||.2xatt设222dsecdsecxattataxsecdttCtt|tansec|ln22lnaxxCaa这里可借助辅助直角三角形,求出sect,tant.a22xaxt换元积分法221ln()axxC数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法例10).0(d22aaxx求解πsec,0,2xatt设22dsectandtanxatttatxasecdttCtt|tansec|ln其中sect和tant可借助辅助直角三角形求出.axt22xaCaaxax22ln,ln122Caxx换元积分法数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法例11).0()(d222aaxx求解πtan,||,2xatt222244dsecd()secxattxaat231cosdtta31(1cos2)d2ttaCttta)cossin(213.arctan21223Caxaxaxaa22axxt换元积分法数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法换元积分法例1222d.1xxx求解1sec,xt222dsectandsectan1xtttttxxcosdttsintC211xCx解222d1xxx211Cx21111d1xxx2d1uuu21uC211xCx231d1xxx数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法定理8.6（分部积分法）分部积分法若u(x)与v(x)可导,不定积分,d)()(存在xxvxu()()d,uxvxx则也存在且.d)()()()(d)()(xxvxuxvxuxxvxu(()())()()()()uxvxuxvxuxvx由证或()()d()()()()d.uxvxxuxvxuxvxx),()())()(()()(xvxuxvxuxvxu两边积分,得分部积分法数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法1.降幂法等类型函数的不定积sin,cos,ennnxxxxxx在求例13.dcos2xxx求解2cosdxxx2dsinxx2sin2sindxxxxx2sin2dcosxxxx2sin2cos2cosdxxxxxx.sin2cos2sin2Cxxxxx分时,可用分部积分法使xn逐次降幂.分部积分法数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法定积分时,需要使用升幂法.例143lnd.xxx求解3lndxxx.)1ln4(164Cxx注通过对xn的升幂和lnx的求导,化解了难点.2.升幂法arctan,ln,arcsinnnnxxxxxx求等类型函数的不4dln4xxxxxxdln4134分部积分法数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法例152arctand.xxx求解2arctandxxx3arctand3xx3321arctand31xxxxx232211arctand361xxxxx322111arctan1d361xxxx3211arctan36xxx21ln(1)6xC分部积分法数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法类型的函数的不定积分时,用分esin,ecosxxxx求3.循环法例161ecosdaxIbxx求和2esind.axIbxx解11cosd(e)axIbxa1(ecosesind)axaxbxbbxxa21(ecos),axbxbIa(3)解出方程加上常数C即可得不定积分.部积分法两次,循环得到含未知不定积分的方程,分部积分法数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法(4)式代入(3)式,得21sind(e)axIbxa1(esinecosd)axaxbxbbxxa122sincose.axbbxabxICab222sincose.axabxbbxICab11(esin).axbxbIa(4)111[ecos(esin)].axaxbIbxbxbIaa整理后得到同理分部积分法数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法1ecosdaxIbxx的另一种求法是:11(ecosesind)axaxIbxbbxxa1(ecossinde)axaxbbxbxaa1(ecosesinaxaxbbxbxaa211(ecosesin)axaxbbbxbxIaaa2I的求法类似.分部积分法122sincose.axbbxabxICab所以2ecosd)axbbxxa数学分析第八章不定积分高等教育出版社§2换元积分法与分部积分法换元积分法分部积分法4.递推法例17.dcosxxInn求不定积分解.sindcos1CxxxI1cosdcosdsinnnnIxxxx122