线性代数考试(A)参考答案及评释

1华南农业大学期末考试试卷（A卷）2005学年第一学期考试科目：线性代数考试类型：闭卷考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四五六七总分得分评阅人这是题文这是参考答案这是评释填空题.（每小题3分，共30分）1.若行列式D各行元素之和等于0，则该行列式等于0.各行加到第一行上去,则第一行全为零2.设A为2005阶矩阵，且满足TAA，则A0.P98奇数阶实反对称阵的行列式为零3.非齐次线性方程组AXb有解的充要条件是RARA.P64定理2.7非齐次线性方程组有解的充要条件4.设A为4阶方阵，且A的行列式12A，则2A2.41141222222nnnAAA重要关系AAAE(P34定理1.9);1nAA(p44题1.18)5.设1,1,5,3,9,2,3,5,TT则与的距离为9.22228,3,2,283229αβ6.设A为正交矩阵，则1ATA,A1.由正交矩阵的定义TAAE立即得到1TAA且1TAAAAE参考答案27.三阶可逆矩阵A的特征值分别为2，4，6，则1A的特征值分别为111,,246.若是A的特征值,则1是1A的特征值,因为110xxxxAAx.参考P87定理4.4:A的特征值是.8．如果222123123121323,,2246fxxxxxtxxxxxxx是正定的，则t的取值范围是5t.11212323tA1231121110,10,123501223ttp100定理5.69.设A为n阶方阵，且2AA，则12AE12AE.由2AA推出22AEAEE10.在MATLAB软件中rank(A)表示求矩阵A的秩.English!二、单选题（每题3分，共15分）1.n元齐次线性方程组0,AX秩,RArrn则有基础解系且基础解系含（D）个解向量.（A）n（B）r（C）rn（D）nrP62line5:基础解系含nr个解向量2.设四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A的秩为（D）（A）1（B）2（C）3（D）0.A的余子式(3阶子式)全为零.*A是零矩阵.3.设A是n阶方阵，满足2AE，则（B）（A）A的行列式为1（B）,AEAE不同时可逆.（C）A的伴随矩阵*AA（D）A的特征值全是132000AEAEAEAEAE或.4.设n阶方阵,,ABC满足ABCE，其中E是n阶单位阵，则必有（C）（A）ACBE(B)CBAE(C)BCAE(D)BACEABCEBCAE.p7性质1.2,p35定理1.105.在MATLAB中求A的逆矩阵是（C）（A）det(A)(B)rank(A)(C)inv(A)(D)rref(A)三、计算题（每题6分，共12分）1.1111111111111111xxxx12342131414321111111111121111111111111111111111111111100351111001111000111100600000xxxxxxxccccxxxxxxrrxxxxrrxxxxrrxxxxrrxxxxx分分（分）（分）或者141231234142332,3,43334111111111111111100001111110001011111001001111000100000100010010001000100001010001000000irriccccrrrrrrrrxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx.2.给定向量组121,1,1,1,1,1,1,1,TT32,1,2,1T，441,1,1,1,T求1234,,,的一个最大无关组和向量组的秩.213141434212341121112111110212,,,112100021111021011211121021202120002000200020000rrrrrrrrrrA可见1234,,,3R，124,,是一个最大无关组。列向量作行变换,行向量作列变换四、设1122123122,,3,验证：123,,线性相关.（8分）解：设有一组数123,,kkk使得1122330,kkk则112212312230,kkk12311232230kkkkkk整理得若12,线性相关时，显然123,,kkk不全为零，则123,,线性相关.若12,线性无关时，可得到1231232030kkkkkk，23RA，方程有无穷多解，123,,kkk不全为零，则123,,也线性相关.这个证明中,“(若12,线性相关时，)显然123,,kkk不全为零”这点是需要说明的,不该用“显然”含混过去.事实上可以不考虑12,线性的相关性,只需要说明方程组1231232030kkkkkk有非零解.例如可取1234,5,3kkk,而有123121212453425330βββαααααα.证法二:123,,βββ可由较少向量线性表示,从而是线性相关的.(p56引理2.1).引理2.1设向量组12,,,sβββ可由向量组12,,,rααα线性表示.如果sr,则12,,,sβββ线性相关.5五、已知122212221A，求1A及1*A（10分）解：213122122122212036270,221063rrrrAA可逆.利用初等行变换，213133222313221291322122100122100|212010036-210221001063-201122100122100036-2100122/3-1/300092-210012/9-2/91/9rrrrrrrrrrrrAE1221205/94/9-2/91001/92/92/90102/91/9-2/90102/91/9-2/90012/9-2/91/90012/9-2/91/9rr可见112212129221A由于1AAAAAAEAA，所以1*122121227221A.开头的求270A这一步是多此一举.对|AE作行初等变换时,若A不可逆;大矩阵的左半部将出现某一行全为零的情形,这说明A是降秩的.六、设线性方程组1232123123424xxxxxxxxx当等于何值时，（1）无解；（2）方程组有惟一解；（3）有无穷多解，并求出此时方程组的通解.（12分）解：对方程组的增广矩阵作初等变换621312211411411011411240228rrrrA23211402280114rr3121140228140042r可见1.当1时，3,2RARA方程组无解；2．当1且4时，3RARA，方程组有唯一解；3．当4，23RARA，方程组有无穷多解。有21412114411441030022801140114000000000000rrr对应的方程组为132334xxxx，令30x，得到非齐次方程组的特解为040，令31x时，对应的齐次方程组的基础解系为311，则得到通解为,XkkR.七、求一个正交变换XPY，把下列二次型化为标准形22212312323,,4233fxxxxxxxx（13分）解：易知二次型的矩阵为400031013A，7240003142013AE，则A的特征值为1234,2.当124时，230000004011000,011011rrAE即23xx取1310,01xx，得到基础解系为12100,101，再单位化有120110,2012.当32时，322002002011011,011000rrAE令31x，得到基础解系为3011，再单位化有201212，于是12310011,,02211022P是一个正交矩阵，且满足1442TPAPPAP，所以取正交变换XPY，得到222123442fXfPYyyy.