2.4.1等比数列的定义与通项公式

等比数列等比数列的概念与通项公式主讲人：颜婉菁第一部分还记得等差数列的定义吗？知识链接回顾从第2项起，每一项与其前一项的差都等于同一常数的数列，称为等差数列定义an=a1+(n-1)d通项公式若a,b,c三数成等差数列,则b叫做a与c的等差中项2b=a+c递推公式an+1-an=d等差中项1.如图是某种细胞分裂的模型，那么这种细胞每次分裂的个数组成一个什么数列？1，2，4，8，16…从第2项每一项与前一项的比等于多少？二、情景引入2.庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”。如果将“一尺之棰”视为一份，则每日剩下的部分依次为：1111124816，，，，，…从第2项每一项与前一项的比等于多少？3、一种计算机病毒通过邮件进行传播，如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是什么？1，20，202，203，…从第2项每一项与前一项的比等于多少？7三、自主探究你能看出以上数列有哪些共同特征吗？（1）1，2，4，8，16…1111124816（2），，，，，…（3）1，20，202，203，…8三、自主探究特征一•数列每一项数字都不为零特征二•从第二项开始，数列每一项与它前一项的比等于同一个常数特征三•从第三项开始，数列中间一项的平方等于其前项与后项的乘积这个常数叫做等比数列的公比。每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，如果一个数列从第2项起，数列等比的定义1.等比数列的定义公比通常用字母q表示（q≠0）2.等比数列{an}的递推公式：)2(1nqaann或)(*1Nnqaann0na通项公式数学式子表示定义等比数列等差数列名称如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示an+1-an=dan=a1+（n-1）d如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示?𝒂𝒏+𝟏𝒂𝒏=q3.等比数列的通项公式是等比数列，它的公比是q，那么qaa12由此可知，等比数列的通项公式为na2123qaqaa3134qaqaa4145qaqaa当q=1时，这是一个常函数。0na不完全归纳法...×q×q×q×q由定义归纳通项公式问：如何用a1和q表示第n项an累乘法:∵∴∴324,1231nnaaaaqaaaa2,1aqa,1nnaqa3,2aqa4,3aqa1324,1231nnnaaaaqaaaa1,1nnaqa特别地，等比数列{an}中，a1≠0,q≠0注意：公比q，数列中的项an能不能是零？不能！！注意：(1)等比数列通项公式的推导方法，体现了从特殊到一般的思想．(2)已知等比数列的首项和公比，可以求得该数列中的任意一项．(3)在等比数列中，若已知a1，q，n，an四个量中的三个，就可以求出另一个量．初露才华：下面四个等比数列的通项公式分别是什么?（1）1，2，4，8，16…1,2nna1111124816（2），，，，，…1,1()2nna（3）1，20，202，203，…1,20nna4.等比中项与等差数列概念类似，如果在a和b中间插入一个数Ｇ，使a,G,b成等比数列，那么Ｇ叫做a与b的等比中项，有：G2＝ab练一练：2，x，y，z,18成等比数列，则y＝________.65.将等比数列的通项公式看作是一个关于n的函数，这是一个什么类型的函数？等比数列的通项公式可以变形为an＝(a1q)qn，因此等比数列{an}中各项所表示的点(n，an)孤立地分布在第一象限或第四象限，即这些点在曲线y＝(a1q)qx上，因此可以利用函数思想求解等比数列的通项公式．21三、例题精讲题型一：等比数列的基本概念解解：用｛an｝表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有解得因此，答：这个数列的第1项与第2项分别是例1：一个等比数列的第３项和第４项分别是12和18，求它的第１项和第２项．即在等比数列{an}中，a4＝2，a7＝8，求an；[解析]设公比为q，由题意，得a1q3＝2a1q6＝8①②由②①得q3＝4，∴q＝34.∴a1＝2q3＝12，∴an＝a1qn－1＝12×＝.24三、例题精讲题型二：等比数列的判定和证明[方法总结]判定数列是等比数列常用的方法(1)定义法：an＋1an＝q(常数)或anan－1＝q(常数)(n≥2)⇔{an}为等比数列．(2)等比中项法a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列．(3)通项法：an＝a1qn－1(其中a1、q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．【变式与拓展】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．∴{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列．∴an＋1＋1an＋1＝2.(1)证明：方法一：∵an＋1＝2an＋1，方法二：an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1an＋1＝2an＋1＋1an＋1＝2an＋1an＋1＝2.∴{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列．(2)解：由(1)知：an＋1＝(a1＋1)qn－1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.28三、例题精讲题型三：中项等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是()A．90B．100C．145D．190[解析]设公差为d，由题意得a22＝a1·a5，∵a1＝1，∴(1＋d)2＝1＋4d，∴d2－2d＝0，∵d≠0，∴d＝2，∴S10＝10×1＋10×92×2＝100，故选B．B等差数列{an}中，公差d≠0，且a3是a1和a9的等比中项，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10＝________.1316[解析]由题意知，a3是a1和a9的等比中项，∴a23＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，解得a1＝d，∴a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10＝13d16d＝1316.小结：等比数列的概念。方程的思想。类比知识内容研究方法思想方法PPT模板下载：行业PPT模板：节日PPT模板：素材下载：背景图片：图表下载：优秀PPT下载：教程：教程：教程：资料下载：课件下载：范文下载：试卷下载：教案下载：论坛：感谢观看