材料力学(I)第四章

材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力1第4章弯曲应力§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图§4-2梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图§4-3平面刚架和曲杆的内力图§4-4梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力2§4-5梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件§4-6梁的合理设计§I-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式·组合截面的惯性矩和惯性积材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力3§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图一、工程实例材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力6材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力纵向对称面二、基本概念FRAFRB挠曲线AB轴线集中力分布载荷力偶纵向对称轴材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力2.梁以弯曲变形为主的杆件外力（包括力偶）的作用线位于纵向对称面内且垂直于杆轴线.（1）受力特征（2）变形特征变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.1.弯曲变形3.平面弯曲作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线.材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力1.支座的简化可动铰支座FRAAAA固定铰支座固定端支座AAAFRAyAFRAxFRyFRxMe三、受弯杆件的简化2.梁的简化通常取梁的轴线来代替梁.材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力3.载荷简化（1）集中力（3）集中力偶：材料力学中把大小相等、方向相反、作用线间距离无穷小的两个集中力称为力偶.若作用线间距离不为无穷小，在这里不能称为力偶，只能称为两个集中力。（2）分布载荷lFABCaFaD两个集中力laABCF(l-2a)集中力偶材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力四、静定梁的基本形式悬臂梁外伸梁简支梁起重机大梁单位长度的重量为q,起吊重量为P,试求大梁的计算简图.qP材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力12§4-2梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图I.梁的剪力和弯矩(shearingforceandbendingmoment)横截面上切应力可合成一个在纵向对称面内且与轴线垂直的内力——剪力FS横截面上法向应力对中性轴的矩——弯矩MFSMFSM材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力弯曲内力符号规定剪力:视自然端为铰支,使选定的单元体绕该铰支顺时针转的剪力为正使单元体绕该铰支逆时针转的剪力负-FS-FS+FS+FS材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力弯矩:视自然端为夹紧端,使选定的单元体下凸的弯矩为正使单元体上凸的弯矩为负M+M+M-M-材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力【例1】求图示简支梁C截面上的剪力和弯矩.ABfgF1F2abcdecMe1Me2Cql【解】1)求支座约束反力0)()2/()(1212aFbaFMdcbaqdMlRmeeBiAF021RqdFFRFBAiyRARBlaFbaFMdcbaqdMReeB])()2/([1212RqdFFRBA21laFbaFMdcbaqdMqdFFee])()2/([121221材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力2)取C截面左边单元体,假定C截面剪力和弯矩均为正021FqdFFRFSCAiyRAAF1F2abcdecMe1CqFSCMC)()()(21qdFFRFASC视待求剪力处为铰支,使选定的单元体绕该铰支顺时针转的外力在该处产生正的剪力使单元体绕该铰支逆时针转的外力在该处产生负的剪力剪力大小等于该外力大小截面上总的剪力等于该单元体上所有外力单独作用时产生的剪力的代数和材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力0)2/()()()()(121∑MdeqdMedcFedcbFedcbaRmCeAiCF)]2([-)--[)](-[)(121deqdMedcFedcbFedcbaRMeAC视待求弯矩处为夹紧端,使选定的单元体下凸的外载荷在该处产生正的弯矩使单元体上凸的外载荷在该处产生负的弯矩.弯矩的大小等于外载荷对该处之矩.截面上总的弯矩等于该单元体上所有外载荷单独作用时产生的弯矩的代数和.RAAF1F2abcdecMe1CqFSCMC材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力18II.剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图反映剪力值FS和弯矩值M随横截面位置x的变化规律的曲线.FS=FS(x)—剪力方程,M=M(x)—弯矩方程分别以FS、M为纵坐标、x轴为横坐标画出的二维图形分别称为剪力图和弯矩图.将正的剪力画在x轴上侧,负的剪力画在x轴下侧xFsO＋－材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力上侧受拉下侧受拉－ＭＭ土木工程中,正的弯矩画在x轴下侧,负的弯矩画在x轴上侧.亦即弯矩图始终画在梁受拉一侧.xＭO－＋＋ＭＭ材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力III、画剪力图和弯矩图的一般步骤•求支座约束反力,悬臂梁除外；•由载荷突跳情况对梁分段；•分段列出梁的剪力方程和弯矩方程；•根据方程求出各段的剪力和弯矩的边界值,以及其他特殊点如二次曲线等的顶点值等；•用描点法分段绘制通过这些边界值和特殊点的对应曲线并标识出这些点的值及剪力和弯矩的符号.材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力【例2】画图示悬臂梁的剪力图和弯矩图.BAFlxFxFS)(FFxxM)(材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力【课堂练习】画梁的剪力图和弯矩图.FxF)(S)()(xlFxM＋xlBAFFl－材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力ql2/2-+qllqx)()(SxlqxF2)()(2xlqxM【课堂练习】画图示悬臂梁的剪力图和弯矩图材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力【课堂练习】画梁的剪力图和弯矩图.0)(SxFMxMe)(xlBAMeMe+材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力【例3】试画剪力图和弯矩图.（1）支反力2RRqlFFBAlqABx（2）剪力方程和弯矩方程qxqlqxFxFS2)(RA+ql/2ql/2222)(2qxqlxxqxxFxMRA8)2(2maxqlMlMFRAFRB+82qll/2210)(xdxxdM令材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力26【课堂练习】简支梁受移动荷载F作用,求弯矩为最大时F的位置及最大弯矩.lxlFFA)(FAABFxlxlxlFxFxMA)()(20)2(d)(dlxlxlFxxM42maxFllM材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力解:（1）求支座反力lalFFFRBRA)2(（2）剪力方程和弯矩方程AC段BD段(从右至左)lxalFxFxMRA)2()(lalFFxFRB)2()(SxxlalFFxFRAS)2()(lxlalFxlFxMRB))(2()()(集中力作用点剪力图跳跃，弯矩图弯折.lFRAFRBCD段)/2()()(laxaFaxFxFxMRAlFaFFxFRA/2)(S+-lalF)2(+lalF)2(lFa/2+-lalFa/)2(lalFa/)2(x【例4】试画剪力图和弯矩图.FABCaFaD材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力(1)支反力【例5】试画梁的剪力图和弯矩图.(2)剪力方程和弯矩方程laABCF(l-2a)lalFFFRBRA)2(lalFFFRAS)2(+lalF)2(xxlxalFxFxMRA)2()(lalFFFRBS)2(lxlalFxlFxMRB))(2()()(+lalalF/))(2(lalFa/)2(AC段BC段（从右至左）FRAFRB集中力偶作用点剪力图不变，弯矩图跳跃.材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力laABCF(l-2a)+lalF)2(+lalalF/))(2(lalFa/)2(lFRAFRB+-lalF)2(+lalF)2(lFa/2+-lalFa/)2(lalFa/)2(FABCaFaD材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力【例6】画梁的剪力图和弯矩图(长度单位为m)211011ABCDEFMe=40kN∙mq=2kN/mP=20kNRARE【解】1)求支座约束反力xkN3001514)53(10)(RPRqMmEEeiAFkN10010RPRqRFAEAiy2)将梁分成5段,分别列出各段的剪力方程和弯矩方程并求出各端点等的值AB段：xxRxMRxFAAS10)(10)(]20[，x20)2(,0)0(10)2()0(MMFFSSBC段：4010)(10)(xMxRxMRxFeAAS]32[，x10)3(,20)2(10)3()2(MMFFSSx材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力211011ABCDEFMe=40kN∙mq=2kN/mP=20kNRARExCD段：49162)3()(162)3()(22xxxqMxRxMxqxRxFeAAS]133[，x15)8(,10)13(,10)3(10)13(,10)3(MMMFFSS顶点DE段(从右至左)：12010)14()15()(10)(xRxPxxMRPxFEES]1413[，x20)14(,10)13(10)14()13(MMFFSSx材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力xEF段(从右至左)：30020)15()(20)(xPxxMPxFS]1514[，x0)15(,20)14(20)15()14(MMFFSS3)绘剪力图和弯矩图20kN∙m20kN∙m10kN∙m3.5m15kN∙m12.5m10kN∙m20kN∙m8m++−−ABCDEF+−+10kN20kNACBFED8m10kN211011ABCDEFMe=40kN∙mq=2kN/mP=20kNRARE材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力33【思考1】一简支梁受移动荷载F作用.问题:(1)梁的最大弯矩是否一定在移动荷载作用处？为什么？(2)F移动到什么位置时梁的弯矩最大？最大弯矩是多少？材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力34【思考2】对于图示带中间铰C的梁,试问：（1）若分别在中间铰左侧和右侧施加向下的集中力F,这两种情况下梁的剪力图和弯矩图是否相同？（2）若分别在中间铰左侧和右侧施加矩为Me的顺时针转的力偶,这两种情况下梁的剪力图和弯矩图是否相同？C材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力35III.弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用从梁中取dx微段,设该段内既无集中力也无力偶且是小变形,取向上的力为正,从左至右的x坐标轴为正向.02)()()()()()(0)()()(dxdxxqdxxFxMxdMxMmxFdxFdxxqxFFSiOSSSiyF略去二阶微量得：2)(dxdxxq)()()()(xFdxxdMxqdxxFdSS)()()(22xqdxxFddxxMdS显然FS(x)M(x)dxq(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)OxyA材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力x2截面的剪力等于x1截面的剪力与两截面间分布载荷图的代数面积之代数和.)()(xqdxxFdS)()(xFdxxdMSxxdxxqxFxFSS21)()()(12xxdxxFxMxMS21)()()(12剪力图上某点的斜率等于梁在该点的载荷集度.弯矩图上某点的斜率等于梁在该点的剪力.弯矩图上某点的二阶导数等于梁在该点的载荷集度.上述公式可进一步变换为：x2截面的弯矩等于x1截面的弯矩与两截面间剪力图的代数面积之代数和.（*）（**）材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力由载荷图绘剪力图,由剪力图和载荷图绘弯矩图.上凸