第四章-力学量算符

1第四章力学量算符一内容提要1基本假设：量子力学中的力学量用算符表示[1]线性厄米算符（力学量算符）)(ˆ2211ccF2211ˆˆFcFcdFdF**)ˆ(ˆ或FFˆˆ[2]线性幺正算符满足线性条件以及1ˆˆˆˆUUUU或1ˆˆUU2力学量用算符表示在量子力学中用以表示力学量的算符本身并没有直接的物理意义，算符表示力学量的含义表现在三方面：[1]一个力学量算符Fˆ的本征值方程nnnFˆ中的全部本征值是仅且是这个力学量Fˆ的所有可能值；[2]若在体系一个给定的状态),(tr中测量力学量F设本征值为分立的。将),(tr归一化且以n展开nnntctr)(),(其中dtrcnn),(*则2nc是体系在),(tr态下时刻t测得力学量F取值为n的几率。当F得本征值为连续谱时有cdtr),(其中),(*trdcdc2为F在d得几率，动量是这种情况得重要以例。[3]在),(tr中测量F得期望值为2nnncF或dtrFtrF),(ˆ),(*3几个基本力学量算符[1]坐标算符rrˆ[2]动量算符ipˆrpiper3)2(1)([3]轨道角动量zyxLLLLˆ,ˆ,ˆ,ˆ2zLLˆ,ˆ2的本征函数为球函数),()1(),(ˆ22lmlmYllYL),(),(ˆlmlmzYmYL[4]宇称宇称算符Pˆ的本征值为+1和-1相应的本征函数分别是坐标变量的偶函数和奇函数。2[5]哈密顿算符当哈密顿不显含时间时有：EHˆ[6]自旋算符Sˆ泡利算符ˆ4算符的对易关系[1]基本对易关系ipx],[[2]复变量对易关系pimxmaˆˆ(21ˆpimxmaˆˆ(21ˆ1]ˆ,ˆ[aa[3]角动量对易关系zyxLiLLˆ]ˆ,ˆ[0]ˆ,ˆ[2ZLL二例题讲解1证明[1]101ˆ]ˆ,ˆ[ˆ]ˆˆ[nssnsnBBABBA，[2]若算符Bˆ与]ˆ,ˆ[BA对易则有]ˆ,ˆ[ˆ]ˆˆ[1BABnBAnn，解：[1]用数学归纳法：当n=1时110ˆ]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[snnssnBBABBA成立若n=k时成立，即110ˆ]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[skksssBBABBA成立设n=k+1成立利用公式CBACABCBAˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆˆ,ˆ[有kkkBBABABBAˆ]ˆ,ˆ[]ˆˆ[ˆ]ˆˆ[1，，=kskkssBBABBBABBˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ0110=kskkssBBABBBABBˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ01=kskkssBBABBBABBˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ01=skkssBBAB11110ˆ]ˆ,ˆ[ˆ令k+1=n则]ˆˆ[nBA，10ˆ]ˆ,ˆ[ˆskkssBBAB[2]由于B与[A，B]对易，由[1]的结果。]ˆˆ[nBA，10ˆ]ˆ,ˆ[ˆskkssBBAB=kssnsBABB01]ˆ,ˆ[ˆˆ=ksnBAB01]ˆ,ˆ[ˆ3=ksnBAB01]ˆ,ˆ[ˆ=]ˆ,ˆ[ˆ1BABnn2设两个算符Aˆ与Bˆ互相不对易：0]ˆ,ˆ[BA，为参变数。试证明：[1]]]]ˆ,ˆ[,ˆ[,[!3]ˆ,ˆ[,ˆ[!2]ˆ,ˆ[!1ˆˆ32ˆˆBAAABAABABeBeAA；[2]nAAAnAeBeeBe)ˆ(ˆˆˆˆˆ；[3])ˆ()ˆ(ˆˆˆˆAAAAeBeFeBFe再据此[a]应用ipx],[证明xexepipiˆˆˆˆxipepexxˆˆˆ222121[b]应用LiLLˆˆˆ证明cosˆsinˆˆˆˆzxLizLiLLeLeyy；cosˆsinˆˆˆˆxyLixLiLLeLezz；[c]设)0(m是zLˆ的本征态，相应的本征值为m则)0(ˆˆmLiLimyzee是cosˆsinsinˆcossinˆˆzyxnLLLL的本征态。证明：[1]令00ˆˆ)([!)(ˆnnnnAAdFdnFeBe（1）则BFˆ)0(（2）0ˆˆˆˆ0ˆˆ0)](ˆˆˆ[)ˆ()(ˆAeBeeBeAeBedddFdAAAAAA=]ˆ,ˆ[)](ˆ,ˆ[0BAFA（3）又0022)](ˆ,ˆ[)(ˆ)(ˆFAdddFdddFdd=0])(ˆ,ˆ[dFdA=0]]ˆˆ[ˆ[）（，，FAA=]]ˆ,ˆ[,ˆ[BAA（4）依次类推，易得]]]ˆ,ˆ[,ˆ[,[!3]ˆ,ˆ[,ˆ[!2]ˆ,ˆ[!1ˆˆ32ˆˆBAAABAABABeBeAA（5）[2]因为）AAAnAeBeeBeˆˆˆˆˆ(ˆ）AAeBeˆˆˆ(………）AAeBeˆˆˆ(4=AAeBBBBeˆˆˆˆˆˆ=AnAeBeˆˆˆ（6）[3]设AAeBeGˆˆˆˆ则nnnAAGaGFeBeFˆ)ˆ()ˆ(0ˆˆ（7）又AnAnAAneBeeBeGˆˆˆˆ)ˆ(ˆ（8）故AnnnAAnAnnAAeBaeeBeaeBeFˆ0ˆˆˆ0ˆˆ)ˆ()()ˆ(（9）据此[a]应用公式（5）设xBpiAˆˆ,ˆˆ则]],ˆ[,ˆ[!2]ˆ,ˆ[!1ˆˆ2ˆˆxpipixpixexepipi)](,ˆ[!2))((ˆ2iipiiixxˆ（10）若令pBxAˆˆ,ˆ21ˆ2应用公式（5）得]]ˆ,ˆ21[,ˆ21[!2]ˆ,ˆ21[!1ˆˆ2222212122pxxpxpepexx)]ˆ2(21,ˆ21[2)ˆ2(2ˆ22xixxipxipˆˆ（11）[b]令zyLBLiAˆˆ,ˆˆ，应用公式（5）有：]]ˆ,ˆ[,ˆ[!2]ˆ,ˆ[!1ˆˆ2ˆˆzyyzyzLizLiLLiLiLLiLeLeyy)]ˆ)((,ˆ[!2)ˆ(ˆ2xyxzLiiLiLiiL)ˆ)((!2ˆˆ2zxzLiiLL5xzLLˆ)!3(ˆ)!4!21(342xzLLˆsinˆcos（12）同理若令xzLBLiAˆˆ,ˆˆ,利用（5）可得：cosˆsinˆˆˆˆxyLixLiLLeLezz（13）[c]由（12）cosˆsinˆˆˆˆzxLizLiLLeLeyy得yyLiyxzLieLLLeˆˆ)cosˆsinˆ(ˆ（14）由（13）cosˆsinˆˆˆˆxyLixLiLLeLezz得zzLixyxLieLLLeˆˆ)cosˆsinˆ(ˆ（15）于是)cosˆsinsinˆcossinˆ(ˆzyxmnLLLL)0(ˆˆmLiLiyzee)sinˆcosˆ(sinyxLL)0(ˆˆmLiLiyzee+)0(ˆˆcosˆmLiLizyzeeLsin)0(ˆˆˆmLixLiyzeLe+)0(ˆˆcosˆmLiLizyzeeL)0(ˆˆ)cosˆˆ(sinmLizxLiyzeLLe)0(ˆˆˆmzLiLiLeeyz)0(ˆˆmLiLiyzeem3[1]证明)()](,ˆ[rFirFp其中p为动量，)(rF为r得标量算符；[2]计算],ˆ[,]1,ˆ[,],ˆ[,]1,[2222rrprprprp解：[1]设任意函数)(r则)(ˆ)ˆ()(]ˆ,ˆ[xiFFxirFpx)(ˆˆˆˆ)(]ˆ,ˆ[rxFixFixFixFirFpx则xFiFpxˆ]ˆ,ˆ[同样有6yFiFpyˆ]ˆ,ˆ[zFiFpzˆ]ˆ,ˆ[所以)()](,ˆ[rFirFp[2][a]利用上式得：3)1(]1,[rririrp；[b]利用公式],[],[],[FBABFAFAB得)1(]1,ˆ[ˆˆ]1,ˆ[]1,ˆ[332rrpprrirppprprp又有[1]得33],[rrirrp那么333rriprrrrp得)(12]1,ˆ[3232rrprrirp可以证明03rr（注证明上式：33311rrrrrr，又有525222232223)(223)(1rxzyxxzyxx那么0331153333rrrrrrrrrr）rrprrirp223212ˆˆ12]1,ˆ[；[c]利用[1]有ririrp2)(],ˆ[22那么22226424)(2]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[],ˆ[rrirprirpprirppprprp[d]对易关系pipriripprprpprp2)()(],[],[],[2其中利用了1r又rrprrirp223212ˆˆ12]1,ˆ[那么有rrrrpirprrrprrp22222212]1,[1],[],ˆ[rrrrpirprrrprrp22222212]1,[1],[],ˆ[)1(22)1(2232223rrrrrrrrrrripri上面利用了[a]式，以及ip4以prlˆˆˆ表示轨道角动量，证明在zlˆ得任何一个本征态下，xlˆ和ylˆ得平均值为0。7证明：设m为zlˆ得本征态，本征值为m即mmzmlˆmzmmlˆ（1）利用对易关系式xyzzylillllˆˆˆˆˆ（2）求上式两边在m中得平均值myzzymxllllliˆˆˆˆˆ=myzmmzymllllˆˆˆˆ0ˆˆmymmymlmlm（3）同样利用对易关系yzxxzlillllˆˆˆˆˆ在m下求出0ˆyl5对于（zll,2）得共同本征态),(lmY。计算[1]22,yxll得平均值；[2]yxll,并且验证测不准关系。解：设lmlllml22)1(（1）lmmlmlz（2）利用对易关系式：lillˆˆˆ（3）得：xyzyzxyxyzxzyxyzzyxllllillllllllllllllli)()(22yxyzzxylillllll（4）则22yxyzzxyxlilmllllmlmllllmli22yyxyxylililmlllmilmlllmi所以22yxll（5）而222222])1([mllllllzyx（6）则2222]