1.2.2导数运算法则(优质课)

1.2.2导数的四则运算法则记忆基本初等函数的导数公式.1)(ln)(.8);1,0(ln1)(log)(.7;)()(.6);0(ln)()(.5;sin)(cos)(.4;cos)(sin)(.3;)()(.2;0)()(.11xxfxxfaaaxxfxxfexfexfaaaxfaxfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxfcxfaxxxx，则若，则若，则若，则若，则若，则若，则若，则若基本初等函数的导数公式新课讲授一、和（或差）的导数两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即vuvu)(例１:求y=x3-2x+3的导数.23'2xyxxycos3'2124'3xxy练习：（1）求y=x3+sinx的导数.（2）求y=x4-x2-x+3的导数。yxxy，求已知函数33443)3(xxy643这个法则可以推广到有限个可导函数的和的情形,即.)(2121nnuuuuuu例2求函数的导数.3sin12xxyx解)3sin12(xxyx)3()(sin)1()2(xxx.coslnxxx+1+22=2例3：求y=(2x2+3)(3x-2)的导数。二、积的导数两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一函数乘第二个函数的导数，即vuvuuv)(9818)32(3)23(4)'23)(32()23()'32('2222xxxxxxxxxy解：练习：（1）求y=x3sinx的导数.（2）求y=(x4-x2)(x+3)的导数。xxxxycossin3'32xxxxxxxxxy63125)()3)(24('2342433、函数y=(2x-3)(x+2)+(3x+1)(1-x)在点x0=3处的导数是。4、已知函数y=(1+x6)(2+sinx),求y/.－3y/=12x5+6x5sinx+cosx+x6cosx5.求曲线y=2sinx+x2上横坐标为x=0的点处的切线方程。解：因为y=2sinx+x2y/=2cosx+2xxyyxkyx2(0,0)00220切线方程为：。即切点为时，又当，即,|三、商的导数两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方。即)0(2vvvuvuvu2020/4/7例4：求的导数。xxysin2xxxxxy222sin)(sinsin)(解：xxxxx22sincossin22020/4/7练习：.sin.1'yxxy，则若.3cos2cossin.20处的导数等于在点xxxxy2sincosxxxx23cos21|23'xy2020/4/73、求的导数.xxycos1xxxxxy2sin2cos'定理设函数y=f(u)，u=(x)均可导，则复合函数y=f((x))也可导.且()()xyfux，xuxuyy或四、复合函数的求导法则即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)例5：求xy2sin的导数分析：解1：(sin2)(2sincos)yxxxx)sinsincos(cos2xxxx解2：xy2sin可由y=sinu,u=2x复合而成2,cosxuuuyxuuyxy=2cos2xxuxuuy2cos2cos2.x2cos2xxxx2cos)2(sincos)(sin?例6设y=sin2x，求y.解这个函数可以看成是y=sinx·sinx,可利用乘法的导数公式，将y=sin2x看成是由y=u2，u=sinx复合而成.而,2)(2uuyu.cos)(sinxxux所以.cossin2cos2xxxuuyyxux这里，我们用复合函数求导法.求y.,12xy设解将中间变量u=1-x2记在脑子中.211().22(1)uyuux也在心中运算这样可以直接写出下式221(1)2(1)xxyxx.12xx例78.sin()()yx例其中，均为常数函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：xuuyxysin)sin()1()cos(cos)'()'(sin'''xuxuuyyxux例9.若可导函数f(x)是奇函数，求证：其导函数f′(x)是偶函数.2.利用积的运算法则和求导公式证明：2)]([)(')()()(']')()([xgxgxfxgxfxgxf因为y=f（x）是奇函数所以f（x)=-f(-x)两边同时对x求导可得f′(x）=—[-f′(-x）]=f′(-x)练习1、已知函数y=(x)是可导的周期函数，试求证其导函数y=f′(x)也为周期函数.练习2、设y=f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相等的实根，且f’(x)=2x+2.求y=f(x)的表达式。设f(x)是一个以T为周期的函数，则有：f(x)=f(x+T)两边同时求导，则有f'(x)=f'(x+T)可知f(x)的导函数仍然是周期函数。有f‘(x)=2x+2得f(x)=x*x+2x+c根据f(x)=0有相等的实根：x*x+2x+c=0x=-2正负根号(4-4c)/2由于x解为相等实根，则4-4c=0即：c=1所以表达式为y=x*x+2x+1).0()()3()()2()()1(2vvvuvuvuvuvuvuvuvu导数的四则运算法则推论1(cu(x))=cu(x)(c为常数).wuvwvuvwuuvw)(推论2.)()()(12xuxuxu推论3课堂小结