信号与线性系统题解--阎鸿森-第四章

信号与线性系统题解阎鸿森第四章习题答案4.1由于复指数函数是LTI系统的特征函数，因此傅里叶分析法在连续时间LTI系统分析中具有重要价值。在正文已经指出：尽管某些LTI系统可能有另外的特征函数，但复指数函数是唯一．．能够成为一切．．LTI系统特征函数的信号。在本题中，我们将验证这一结论。(a)对单位冲激响应()()htt的LTI系统，指出其特征函数，并确定相应的特征值。(b)如果一个LTI系统的单位冲激响应为()()httT，找出一个信号，该信号不具有ste的形式，但却是该系统的特征函数，且特征值为1。再找出另外两个特征函数，它们的特征值分别为1/2和2，但不是复指数函数。提示：可以找出满足这些要求的冲激串。(c)如果一个稳定的LTI系统的冲激响应()ht是实、偶函数，证明cost和sint实该系统的特征函数。(d)对冲激响应为()()htut的LTI系统，假如()t是它的特征函数，其特征值为，确定()t应满足的微分方程，并解出()t。此题各部分的结果就验证了正文中指出的结论。解：(a)()()htt的LTI系统是恒等系统，所以任何函数都是它的特征函数，其特征值为1。(b)()()httT，()()xtxtT。如果()xt是系统的特征函数，且特征值为1，则应有()()xtxtT。满足这一要求的冲激序列为()()kxttkT。若要找出特征值为1/2或2的这种特征函数，则可得：1()()()2kkxttkT，特征值为1/2。()2()kkxttkT，特征值为2。(c)1cos()2jtjttee()()1()()()()211()()22jtjtjtjjtjythtxtheedehedehed()ht为实、偶函数()()jjhedhed1()()()cos()2jtjtjyteehedtHj同理可证sint。(d)()()htut'()()()ytxtdtyttytt于是()ttce4.2求下列信号的傅里叶级数表示式。(a)()cos4cos6xttt(b)()xt是以2为周期的信号，且(),11txtet(c)()xt如图P4.2(a)所示。(d)()xt如图P4.2(b)所示。(e)()xt如图P4.2(c)所示。(f)()xt如图P4.2(d)所示。图P4.2解：(a)44661111cos4sin62222jtjtjtjttteeeejj，取02，则有2233111;;;0(2,3)222kaaaaakjj(b)02,T,则(1)1(1)111(1)1()22(1)2(1)jkktjktjkkaeedteeejkjke2(1)(1)()2(1)kjktkexteejk(c)2T，()xt是奇函数，00a11111111111(1)||,(0)22(1)(1)()kjktjktjktkkkjktjktkkjateteekjkjkkjjxteekk(d)06,/3T，可求得123321123321301166112||sinsin,(0)2226()()0;jktjktkjktjktjktkkaedtedtkkeekjkjkjkxtxtaxtae(e)04,/2T，()xt是偶函数，012a02222220111cos(1)(1)422jktjktkttktaedtedtkk(f)04,/2T，可求得122201122220142201124411||(2),(0)22311;()();44422jktjktkjktjktjkjkjkjkjktkaakkaedtedtjeeeekjkjkkaaskeskextae4.3已知某LTI系统的单位冲激响应为4()thteut对下列输入信号，求输出响应()yt的傅里叶级数表示式。(a)()cos2xtt(b)()()nxttn(c)()(1)()nnxttn(d)()xt如图P4.3所示。图P4.3解：设0(),jktkkytbe则0();kkbaHk其中kkab、分别是()xt和()yt的傅里叶级数系数。(a)0111()cos2,2;,2xttaa其余0ka*1101111(),4(2)4(2)baHbbjj，其余0kb(b)()()nxttn；01,2;1,012kTak＝，，，101242kbkjk＝，，，(c)()(1)()nnxttn;02,;T12120,11()(1)(1)221,jktjkkkattedtek偶奇0,1,4kkbkjk偶奇(d)由图P4.3所示()xt可得：01,2T011sin(/2),,1,2,22/2kkaakk00,01,sin(/2),8(42)kkkbbkkkjk偶，奇4.4(a)证明:以T为周期的信号()xt如果是偶函数,即()()xtxt,则其三角函数形式的傅里叶级数表示式中只含有余弦分量；如果()xt是奇信号，即()()xtxt，则其三角函数形式的傅里叶级数中只含有正弦分量。(b)如果以T为周期的信号()xt同时满足()()2Txtxt则称()xt为偶谐信号．．．．；如果同时满足()()2Txtxt则称()xt为奇谐信号．．．．。证明偶谐信号的傅里叶级数中只包含偶次谐波；奇谐信号的傅里叶级数只包含奇次谐波。(c)如果()xt是周期为2的奇谐信号，且(),01xttt，画出()xt的波形，并求出它的傅里叶级数系数。解：(a)2/2/21()TjktTkTaxtedtT，2/2/21()TjktTkTaxtedtT若()()xtxt，则kkaa22200()()22cosjktjktjktTTTkkkkkkkxtaeaeaekatT若()()xtxt，则kkaa022sinkkkxtjatT(b)222/200/211()()()TTTjktjktjktTTTkTaxtedtxtedtxtedtTT若()()2Txtxt，则22/2/2001()(1)()TTjktjktkTTkaxtedtxtedtT当k为偶数时，2/202()TjktTkaxtedtT当k为奇数时，0ka只有偶次谐波同理可证奇谐信号只包含奇次谐波。(c)():2,xtT奇谐信号，()()2Txtxt,01()(1),10ttxttt()xt如图PS4.4所示。图PS4.4102111012()jktjktjktkatedtteejkjkjkk，（k为奇数）0ka，（k为偶数）4.5假如图P4.5所示的信号()xt和()zt有如下三角函数形式的傅里叶级数表示式010122()2cos()sin()3322()2cos()sin()33kkkkkkktktxtaBCktktztdEF画出信号001122()4()2()cos()sin()233kkkkktktytadBEF图P4.5解：001;0;3ad而002();2();kvkvaBExtdEEzt2()kdFOzt001122()4()2()cos()sin()23311()()()2kkkkvvdktktytadBEFExtEztOzt4.6设()xt是一个周期信号，其基波周期为0T，傅里叶级数的系数为kA，用kA表示下列信号的傅里叶级数系数。此题证明了表4.2中所列的傅里叶级数的有关性质。(a)0()xtt(b)()xt(c)*xt(d)()txd,（假设00A）(e)()dxtdt(f)(),0,xata（要先确定该信号的周期）解：(a)00000222()000000111()()()kkktTTjtjtjttTTTkTtAxttedtxttedtxtedtTTT000222001()kkkTjtjtjtTTTkextedteAT(b)00002222002211()()TTkkjtjtTTTTkkAxtedtxtedtATT(c)00*22*000011()()kkTTjtjtTTkkAxtedtxtedtATT(d)00()()()()tTttTttxdxdxdxdTA000()()tTtAxdxd为0T周期信号2002200002002001()11()()1()01()22kTtjtTkkkTTTjtjtTTkTTjtTkjTTkAxdedtTxedtdxedtdTTxedtdTexdkTjTAkjT(e)()()dxtTdxtdtdt因此以T为周期2200220()()2()()02kkTTjtjtTTkkkTjtjtTTkdxtAedtedxtdtTkxtextjedtTkjAT(f)00()()TxatxatTxata该信号周期为0TTa222//00011()()()kakkjtaTTjtjtTaTTTkkaaAxatedtxtedtxtedtATTaT4.7已知某周期信号的前四分之一周期的波形如图P4.7所示。就下列情况画出一个周期（0tT）内完整的波形。图P4.7(a)()xt是偶函数，只含有偶次谐波。(b)()xt是偶函数，只含有奇次谐波。(c)()xt是偶函数，含有奇次和偶次谐波。(d)()xt是奇函数，只含有偶次谐波。(e)()xt是奇函数，只含有奇次谐波。(f)()xt是奇函数，含有偶次和奇次谐波。解：(a)()()xtxt且()()2Txtxt，如图PS4.7(a)所示。(b)()()xtxt且()()2Txtxt，如图PS4.7(b)所示。(c)()()xtxt，如图PS4.7(c)所示。(d)()()xtxt且()()2Txtxt，如图PS4.7(d)所示。(e)()()xtxt且()()2Txtxt，如图PS4.7(e)所示。(f)()()xtxt，如图PS4.7(f)所示。图PS4.74.8计算下列信号的傅里叶变换：(a)3()(2)(3)txteutut(b)1(