1.2.1排列(两课时)(整理)

1.2.1排列分类加法计数原理：完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.12nNmmm分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.12nNmmm上午下午相应的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？探究：分析：题目转化为顺序排列问题，把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题１就可以叙述为：从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ab,ac,ba,bc,ca,cb问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？1234443322444333111244431112224333111222叙述为:从4个不同的元素a,b,c,d中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.由此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143;213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342;412，413，421，423，431，432。问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名参加上午的活动,1名参加下午的活动,有哪些不同的排法?实质是：从3个不同的元素中,任取2个,按一定的顺序排成一列,有哪些不同的排法？问题2从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？实质是：从4个不同的元素中,任取3个,按照一定的顺序排成一列,写出所有不同的排法.定义：一般地说,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列.基本概念1、排列：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。说明：1、元素不能重复。2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，可以采用“树形图”。（有序性）（互异性）练习1下列问题是排列问题吗？（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？（3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？（从中归纳这几类问题的区别）是排列不是排列是排列是排列不是排列是排列练习3.写出从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所有排列．解决办法是先画“树形图”，再由此写出所有的排列，共20个．若把这题改为：写出从5个元素a，b，c，d，e中任取3个元素的所有排列，结果如何呢？方法仍然照用，但数字将更大，写起来更“啰嗦”．练习2.在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果．ABACADBABCBDCACBCDDADBDC研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？接下来我们将来共同探讨这个问题：排列数及其公式．2、排列数：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号表示。mnA“排列”和“排列数”有什么区别和联系？排列数，而不表示具体的排列。所有排列的个数，是一个数；mn“排列数”是指从个不同元素中，任取个元素的mnA所以符号只表示nm“一个排列”是指：从个不同元素中，任取按照一定的顺序排成一列，不是数；个元素23326A问题１中是求从３个不同元素中取出２个元素的排列数，记为,已经算得23A3443224A问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为，已经算出34A探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？2nA呢？mnA呢？3nA……第1位第2位第3位第m位n种(n-1)种(n-2)种(n-m+1)种2(1)nAnn3(1)(2)nAnnn(1)(2)(1)mnAnnnnm(1)排列数公式（1）：(1)(2)(1)(,*,)mnAnnnnmmnNmn当m＝n时，123)2)(1(nnnAnn正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示。!nn个不同元素的全排列公式：!nnAn(2)排列数公式（2）：!()!mnnAnm说明：1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。为了使当m＝n时上面的公式也成立，规定：1!02、对于这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。nm(1)(2)(1)mnnnnnmA排列数公式：mnn!(mn,m,nN)(nm)!A)Nnm,n,(m常用于计算含有数字的排列数的值常用于对含有字母的排列数的式子进行变形和论证10！规定：小结：【排列】从n个不同元素中选出m(m≤n)个元素,并按一定的顺序排成一列.【关键点】1、互异性(被选、所选元素互不相同)2、有序性(所选元素有先后位置等顺序之分)【排列数】所有排列总数121mnAnnnnm()()...()mnn!A=(n-m)!例1计算：316(1)A3360141516=6！=6×5×4×3×2×1=72066(2)A例题与练习!57!7!8)3(22!(1)!(4)mmmmA42221mm变式练习：1171654,mnnm、如果A则2290,nn、如果A则1714n(n-1)=90103.由乘积式写出排列数的符号(m-2)(m-3)…….(m-k+3)42kmA例2.解方程:4321(1)140nnAA189(2)34mmAA（1）n=3(2)m=6排列应用题【概念复习】：1．排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题；从n个不同元素中，任取m(mn)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2．排列数的定义，排列数的计算公式)1()2)(1(mnnnnAmn)!(!mnnAmn例1.某段铁路上有12个车站，共需要准备多少种普通客票？2121211132()A种一、无限制条件的排列问题例2、某年全国足球甲级(A组)联赛共有14队参加,每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次,共进行多少场比赛?2141413182()A场1.从5种不同的蔬菜种子中选3种分别种在3块不同土质的土地上，共有多少种不同的种法？分析：把5个种子分别标上1,2,3,4,5,用123表示种子1种在第1块土地上，种子2种在第2块土地上，种子3种在第3块土地上，因此3个数的一个排列就是一种种植方法，从5个不同数中取出3个数的一个排列就是一种种植方法，多少个排列就有多少种种法。变式练习2.公共汽车上有4位乘客，其中任何两个人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方法有多少种？分析：６个车站分别标上1,2,3,4,5,6,如1246表示第一位乘客在1号站下，第二位乘客在2号站下，第三位乘客在4号站下，第四位乘客在6号车站下，不同的排列表示不同的下法，有多少个不同的排列就有多少种不同的下法，共有A46=6·5·4·3=3603、有5名男生，4名女生排队。（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）全部排成一排，有有多少种排法？（3）排成两排，前排4人，后排5人，有多少种排法？39A99A459959AAA例3某信号共用红、黄、蓝3面旗从上到下顺序挂在竖直的旗杆上表示，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？12333315AAA课堂练习：1、20位同学互通一封信，那么通信次数是多少？2、由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的整数？3、5个班，有5名语文老师、5名数学老师、5名英语老师，每个班上配一名语文老师、一名数学老师和一名英语老师，问有多少种不同的搭配方法？220380()A次1234566666661956()AAAAAA个5555551728000AAA例4、用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析1：由于百位上的数字不能为0，只能从1到9这9个数字中任选一个，有种选法，再排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有种选法，根据分步计数原理，所求三位数的个数是：19A29A1299648AA分析2：所求的三位数可分为：不含数字0的，有个；含有数字0的，有个，根据分类计数原理，所求三位数的个数是：39A292A32992648AA分析3：从0到9这十个数字中取3个的排列数为，其中以0为百位数字的排列数为，故所求三位数的个数是：310A29A32109648AA(特殊位置预置法)(特殊元素预置法)(排除法)二、有限制条件的排列问题小结一：对于“在”与“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）。变：1、用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的且能被5整除的三位数？211988AAA2、用1到9这九个数字，可以组成多少个没有重复数字的且能被3整除的三位数？3333333180AA例55个人站成一排⑴共有多少种排法？⑵其中甲必须站在中间，有多少种不同的排法？⑶其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？⑷其中甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？⑸其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种不同的排法？⑹其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？55120A4424A242448AA323472AA52452472AAA或小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．例55个人站成一排⑸其中甲、乙两人不站排头和排尾，有多少种不同的排法？解：⑸甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余3人中选2人来站，有种排法，剩下的人有种排法，共有种排法.23A33A233336AA(特殊位置预置法)(特殊元素预置法)233336AA(排除法)511323523323236AAAAAA例55个人站成一排⑹其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？解：⑹甲站排头有种排法，乙站排尾有种排法，但两种情况都包含了“甲站排头，乙站排尾”的情况，有种排法，所以共有种排法.44A44A33A543543278AAA用直接法，如何分类？一类：甲站排尾二类：甲站中间44A113333AAA所以共有种排法.4113433378AAAA(7)、甲与乙中间必须排2名，有几种排法？222232AAA例55个人站成一排例6有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列