2.4.2抛物线的简单几何性质(第一课时)

（第一课时）一、温故知新(一)抛物线的定义平面内，到定点F的距离与到定直线ll(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹,(二)抛物线的标准方程(1)开口向右y2=2px(p0)(2)开口向左y2=-2px(p0)(3)开口向上x2=2py(p0)(4)开口向下x2=-2py(p0)图形方程焦点准线归纳总结y2=2px（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px2py2pyyxoFlyxoFlyxoFlyxoFly2=mx左右开口型x2=ny上下开口型y2=-2px（p0）x2=2py（p0）2、方程的四种形式及方程系数与曲线要素的对应关系范围1、由抛物线y2=2px（p0）220pxy有0p0x所以抛物线的范围为0x二、探索新知如何研究抛物线y2=2px（p0）的几何性质?yFxOl对称性2、(,)xy关于x轴对称(,)xy即点(x,-y)也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p0)关于x轴对称.则(-y)2=2px若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，yFxOl顶点3、定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。y2=2px(p0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2=2px(p0)的顶点（0，0）.yFxOl离心率4、抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。由定义知，抛物线y2=2px(p0)的离心率为e=1.yFxOl图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px2py2pyx≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1xyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.pp,2pp,2|AB|=2p通径5、2p越大，抛物线张口越大.拓展连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。|PF|=x0+p/2焦半径公式：焦半径6、xyOFP若是开口向上或向下焦半径公式又如何?通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦。xOyFA焦点弦公式：),(11yxB),(22yx12pxx焦点弦7、归纳:(1)、抛物线只位于半个坐标平面内,它可以无限延伸,但它没有渐近线;(2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；(4)、抛物线的离心率e是确定的为１,⑸、抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大.(6)、抛物线的焦半径为(7)、抛物线的焦点弦为|PF|=x0+p/212pxx三、典例精析例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程.22解:因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），22所以设方程为：)0(22ppxy又因为点M在抛物线上：所以：2(22)22p2p因此所求抛物线标准方程为：24yx当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免讨论解这题,你有什么方法呢?法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长.例2、斜率为1的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。l24yxAA`B`BFOxy法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.还有没有其他方法?AA`B`BFOxy432.图.:,,,,,101122xlFpp准线焦点由题意可知解如.,,,,,,,.BAddlBAyxByxA的距离分别为到准线设图2211432.||,||1121xdBFxdAFBA由抛物线的定义可知.||||||221xxBFAFAB于是1101.,,xyABF方程为的所以直线为由已知得抛物线的焦点.,xxxy412122得代入将AA`B`BFOxy432.图.0162xx化简得.||,,822232232121xxABxx于是由求根公式得621xx或由韦达定理得.,8的长是线段所以AB问题(接上一节的思考):倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,求线段AB的长.解本题,可尝试用的方法有:法一:设而不求,运用韦达定理,计算弦长;法二:设而不求,数形结合,运用定义转化,计算弦长.法三:纯几何计算,这也是一种较好的思维.继续解:设1122(,),(,)AxyBxy22(,)xy问题:倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,求线段AB的长.由2cot22pxyypx消去x并整理得222cot0ypyp11(,)xy∴122cotyyp,212yyp221212()()ABxxyy=2212(1cot)()yy∵焦点(,0)2pF,直线AB的倾斜角为∴直线AB的方程为cot2pxy=221212(1cot)()4yyyy=22sinp与直线的倾斜角无关!很奇怪!11(,)xy11(,)xy解完后回味一下,这是一个很好的解题习惯,利于提高!法1：问题:倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,求线段AB的长.解:设1122(,),(,)AxyBxy,焦点(,0)2pF11(,)xy22(,)xyMN由抛物线定义可知,FAMAFBNB准线:2plx,分别过点A、B作l的垂线,垂足分别为M、N.∴ABFAFB=12xxp∵直线AB的方程为cot2pxy由2cot22pxyypx消去y并整理得222(2cot)0xppxp∴AB=2222cot2sinppp法2：问题:倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,求线段AB的长.MN解:如图记焦点F,准线l,分别过点A、B作l的垂线,垂足分别为M、N.由抛物线定义可知,FAMAFBNB过点A作x轴的垂线,垂足为E.E在△AFE中cosEFAF.记x轴与准线l的交点为K,则KFp∴FA=cosMAKEpFA∴1cospFA同理1cospFB,∴221cos1cossinpppABKQ返回法3：MNK发现一个结论:过抛物线22(0)ypxp的焦点的一条直线和抛物线相交,两个交点的纵坐标为12yy、,则212yyp.这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.几何解释,就是2MKNKKF思考:“一条直线和抛物线22(0)ypxp相交,两个交点的纵坐标为12yy、,且212yyp.则这条直线过焦点.”成立吗?一般地,题目改为:倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,求,(1)求|AB|;(2)求|AB|的最小值.22sinpAB思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;四、归纳总结