弹性力学第二章(1)

弹性力学讲课教师：刘章军Tel:153374168012013-09前一节讲授的主要内容：1、弹性力学的基本内容2、弹性力学的基本概念3、弹性力学的基本假定4、弹性力学的基本物理量5、弹性力学的研究方法弹性力学的基本内容研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。从而解决工程中的强度、刚度和稳定性问题。弹性力学完整地体现了变形体力学模型中的弹性建模问题，建立弹性力学的基本方程和边界条件，并对一些简单问题进行解析求解。同时，对于复杂问题进行数值求解（如变分法、有限单元法）。弹性力学的基本概念其他物体对研究对象（弹性体）的作用力，包括体力和面力。符号：坐标正向为正，负向为负。定义：作用在物体表面上的力，其量纲为，如压力和接触力。0limSSFf12LMT符号：坐标正向为正，负向为负。定义：分布在物体体积内的力，其量纲为，如重力、惯性力。22LMT0limVVFf表示：矢量在坐标轴上的投影。,,xyzffff表示：矢量在坐标轴上的投影。,,xyzffff符号：正面正向为正，负面负向为正。物体本身不同部分之间相互作用的力。斜截面上的应力：过任一点的任一斜截面上单位面积的内力，其量纲为。12LMT0limAAFp弹性力学的基本概念表示：正应力切应力或投影分量,,xyzppp正截面（或坐标面）上的应力：过任一点的三个坐标面上单位面积的内力值。xxy：面上沿向正应力xx：面上沿向切应力yx表示：应力分量定义：形状（长度和角度）的改变。以过任一点的沿坐标正向三个微分线段的改变。正应变（或线应变）：,,xyz切应变（或剪应变）：,,xyyzzx表示：正应变：伸长时为正，缩短时为负切应变：直角变小时为正，变大时为负符号：弹性力学的基本概念定义：位置的移动。位移是矢量，其量纲为L。在坐标轴上的投影分量：,,uvw表示：沿坐标轴正向为正，负向为负符号：物体是因此，应力与应变的关系可用胡克定律表示（物理线性）1、完全弹性2、线性弹性物体是连续的。因此，各物理量（如应力、应变、位移等）可用连续函数表示。材料性质采用的基本假定及其在建立弹性力学基本理论中的作用：物体是由同一材料组成的。因此，物体的弹性E、μ等与位置坐标无关。(,,)xyz弹性力学的基本假定物体的弹性在所有各个方向都相同。因此，弹性E、μ等与方向无关，且可看作常数。位移和变形是微小的。应用：1、简化平衡条件；2、简化几何方程弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:理想弹性体的小变形问题。弹性力学的基本假定符合上述四个假定的物体，称为理想弹性体。6个独立的应力分量xyzxyxzyz6个独立的应变分量,,,,xyzxyxzyz弹性力学的基本物理量3个位移分量,,uvw基本已知量：基本未知量：物体的形状和尺寸、物体所受的外力（体力和面力）、边界上的约束、物体的弹性常数。注：基本未知量都是位置坐标的函数微分体的平衡条件微分线段上应变与位移的几何关系应力与应变之间的物理关系在弹性体的边界S面上:最后，在边界条件下求解基本方程，得出应力、形变和位移。在给定面力的边界上，根据平衡条件来建立在给定约束的边界上，根据约束条件来建立在弹性体区域V内：弹性力学的研究方法什么是平面问题？基本理论是什么？弹性力学平面问题应看作是空间问题的简化，共有3个应力分量、3个应变分量、2个位移分量，共计8个未知函数，且均为。,fxy这种简化：分析和计算量减小、结果满足工程精度要求、但简化有条件！第二章平面问题的基本理论§2-1平面应力问题与平面应变问题1.几何形状：物体是很薄的等厚度板，即：z向尺寸远小于板面尺寸。2.外力特点:体力和面力均平行于xoy面作用，且沿板厚均匀分布。注：(1)力学中的“薄”往往意味着力学量不沿厚度变化。(2)加上外力垂直厚度方向、且不沿厚度变化，使这种不变性更合理。3.应力特点：薄板的前后自由面：0zzxzy体力和面力沿板厚均匀分布；等厚度薄板；在薄板内的任一点处，因此只有三个平面应力分量；0zzxzy,,xyxy三个平面应力分量沿z轴没有变化，即应力只是x,y的函数。,,xyxy3、各点沿z向的位移、应变一般并不等于零。2、应力分量只是x、y的函数；平面应力问题的本质特征：1、只有三个平面应力分量：；,,xyxy例如：沿x或y向拉伸时，沿z向会收缩工程中的平面应力问题yfyfxy深梁平面应变问题的基本特征：1.几何形状:z向尺寸远大于xoy面的尺寸，为等截面的长柱体(理论上无限长）。2.外力特点：外力（体力和面力）均平行于xoy面，且沿z轴无变化。xyz3．变形特点：图中当柱体无限长时，任意垂直于z轴的横截面都是无限长柱体和载荷的对称面,因此有xyz对称面(,)(,)0uuxyvvxyw平面位移问题0zxzy0zxzy,,,xxyyyzzzxuvuxxyvwvyyzwuwzzx0(,)(,)(,)zzxzyxxyxxyxyxyxyxy空间问题的几何方程代入(,)(,)0uuxyvvxyw注意：一般来讲0z平面应变问题（平面位移问题）的本质特征且应变分量只是x、y的函数。只有三个平面应变分量，,,xyxy0zyzxz),(),(),(yxyxyxxyxyxyxx本质特征隧道yox工程中的平面应变问题oyx挡土墙判断平面应力问题和平面应变问题的关键是它们的本质特征oxyz符合平面应变问题的本质特征例（P32习题2-4）(,)(,)0uuxyvvxyw),(),(),(yxyxyxxyxyxyxx等厚度薄板左右边缘上无z向位移在弹性体区域V内：§2-2平面问题的基本方程微分体的平衡条件应力与应变之间的物理关系微分线段上应变与位移的几何关系ifiu面力体力给定的位移值域内的位移边界上的位移边界上的应力域内的应力域内的应变外力位移静力平衡几何协调应力物理方程应力边界条件平衡微分方程几何方程位移边界条件如图从平面应力（变）物体内任取一微分体,其中平面问题的厚度取为1，长为dx，宽为dy。表示物体内任一点的微分体的平衡条件。平衡微分方程边界上的平衡条件如何建立？xyxyyxxyyxyxdxdyCxyoxfyffxyousS体力：。应力：作用于各边上，并表示出正面上由坐标增量引起的应力增量。,xyff平衡微分方程问：在一点的应力状态分析中，单元体正面为什么没有考虑应力增量？答：前者考虑的是一微分体，后者考虑的是一个点。xyxyyxxyyxyxdxdyCxyoxfyf微分体的平衡yxxyxxyyxyxyy点的单元体xo应用连续性和小变形假定：222(,)(,)1(d,)(,)d(d)2(,)(,)ddxxxxxxxxxxyxyxxyxyxxxxxyxyxxxxdyyyyydxyxyxyxxdyxyxyxyy类似地，有：xyxyyxxyyxyxdxdyCxyoxfyf因为单元体是微小的，所以作用于各边上的应力可以认为是均匀的，由单元体的平衡条件：0xF(d)d1d1(d)d1d1dd10yxxxxyxyxxxyyyxxyxfxyxyxyyxdxdyCxyodyyyydxxxxdxyxyxxdyxyxyyxfyf化简后，两边除以dxdy：0xyxxfyx同理，：：0yF0yxyyfxy最后，：0CMyxxy平衡微分方程：00xyxxxyyyfxyfxy用矩阵形式表达：00xxxxyxyyyyff代表弹性体区域内任意点的平衡条件；适用的条件─连续性、小变形；应力不能直接求出；体现体力分量与应力分量之间的关系；对于两类平面问题都适用。对平衡微分方程的说明：考虑有限体的平衡（近似）。V考虑微分体的平衡（精确）。Vd考虑整体的平衡（只决定整体的运动状态）。V三门力学中平衡条件的比较：当均平衡时，保证、、平衡；反之则不然。因此，弹性力学的平衡条件是严格的、精确的。VdVV理力（V）材力（）dVhxb弹力（）ddd1VxyhVdxdydx三门力学中平衡条件的比较：几何方程表示弹性体内任一点的微分线段上应变与位移之间的关系。过点P(x,y)作两条沿坐标正向的微分线段：d,dPAxPBy变形前的位置::(,):(d,):(,d)PxyAxxyBxyyd,duvuxvxxxd,duvuyvyyy设P点的位移:(,),(,)uxyvxy变形后，,,PAB变形后的位置：A点的位移：(d,),(d,)uxxyvxxyB点的位移：(,d),(,d)uxyyvxyy变形前与变形后的位置：dddd:(,):(d,):(,d)PuvuvPxyAxxyBxyAuxvxxxuvByyyuvyy沿x方向的正应变:(d)dxuuxuuxxxdduxxx注：相对于是高阶小量(d)dyvvyvvyyy切应变（）:ddddddxyuvyxuvyxuvyxxxyyxy沿y方向的正应变:适用于区域内任一点；说明：,,xyxyuvvuxyxy于是，平面问题的几何方程：适用条件：a.连续性；b.小变形。应用小变形假定，略去了高阶小量线性的几何方程；几何方程是变形后物体连续性条件的反映和必然结果。应变和位移之间的关系：从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的应变确定。从数学推导看，位移函数确定，则其导数（应变）确定。应变确定，位移不完全确定：从物理概念看，确定，物体还可作刚体位移。、位移确定，应变完全确定：从数学推导看，确定，求位移是积分运算，出现待定函数。、例：若,求位移。0xyyx00,uuyvvx几何方程1(,)()uxyfy0xxu0yyv2(,)()vxyfx刚体位移：0xyvuxy12d()d()ddfyfxyx物理意义：00,uv表示物体绕原点的刚体转动表示x,y向的刚体平移结论：应变确定，则与应变有关的位移可以确定，而与应变无关的刚体位移则未定,须通过边界上的约束条件（位移边界条件）来确定。00,uuyvvx刚体位移：物理方程（胡克定律）2(1)EGE弹性模量表示应力与应变之间的物理关系。11(),11(),11(),xxyzxyxyyyzxyzyzzzxyzxzxσσσEGσσσEGσσσEG广义胡克定律弹性常数G切变模量泊松比注：只要两个独立的弹性常数理想弹性体)(xyzE平面应力问题的物理方程平面应力问题0,0zzxzy本质特征(,)(,)(,)xxyyxyxyxyxyxy平面应力分量代入广义胡克定律11()()2(1)xxyyyxxyxyσσσσEEE，物理方程22()1()12(1)xxyyyxxyxyEEE