弹性力学第二章(2)

弹性力学讲课教师：刘章军Tel:153374168012013-09前一节讲授的主要内容：1、平面应力问题与平面应变问题2、平衡微分方程3、几何方程刚体位移4、物理方程平面应力问题与平面应变问题名称平面应力问题平面应变问题未知量已知量未知量已知量位移uv,0wuv,0w应变,,xyxy0xzyz()zxyE,,xyxy0zzxzy应力,,xyxy0zzxzy,,xyxy0xzyz()zxy外力体力和面力平行于板面（oxy平面），且沿板厚不变体力和面力平行于oxy平面，且沿z轴无变化形状z向尺寸远小于板面（oxy平面）尺寸（等厚度薄板）z向尺寸远大于oxy平面内的尺寸（等截面长柱体）本质仅存在3个平面应力分量,,xyxy，且均是,xy函数仅存在3个平面应变分量,,xyxy，且均是,xy的函数。1()1()2(1)xxyyyxxyxyEEE或22()()21(1)111xxyyyxxyxyEEσσσσE物理方程0,0xyxyyxxyffxyxy平衡微分方程,,xyxyuvuvxyyx几何方程平面问题的基本方程2个位移分量,uv3个独立的应变分量,,xyxy3个独立的应力分量xyxy平面问题的基本物理量注：基本未知量都是位置坐标的函数可见，8个基本方程，8个基本未知量，由于基本方程是偏微分方程，故不能求解，还必须考虑弹性体的边界条件，才能求解。事实上，基本方程是共性，边界条件是个性。什么是基本方程？什么是边界条件？是指弹性体区域内任一微元的平衡微分方程、几何方程和物理方程。所有弹性体的基本方程都相同。（共性）第二章平面问题的基本理论是指弹性体边界面上给定面力与应力边界值、给定约束与位移边界值之间的关系式。不同弹性体的边界条件不同。（个性）对于任一给定的弹性力学问题，只有在给定的边界条件下求解基本方程，才能得到唯一的正确解答。§2-2边界条件表示在弹性体的边界面上，给定的面力与边界上的应力值、给定的约束与边界上的位移值之间的关系。应力边界条件位移边界条件混合边界条件0)(axu()0xyxayxoa混合边界条件,uuvv（在上)us设在位移边界上，已知给定的位移分量和,则有:us()us()vs位移边界条件是物体在边界上保持连续性的条件，或位移保持连续性的条件。学习边界条件，重点和难点是如何正确直接写出具体问题的边界条件。例：图中所示的位移边界条件(1)当lh时，固定端x=l的位移边界条件是什么？(2)当l=4h时，固定端x=l的位移边界条件又是什么？yxlh/2h/2od0,0dxlxlvvx(,)0(,)0ulyvly(,0)0,(,0)0ulvl,00xlyvx表示在弹性体的边界面上，给定的面力与边界上的应力之间的关系。应力边界条件的实质是边界上的平衡条件。fxyousSxyxyyxxfyffxyoABCoxyfyfxfnxyxyyxBCAcos(,)cos(,)lxmynn根据三角形微分体的平衡条件：同理，：：0yF应力边界条件：用矩阵形式表达：xxyxlmfxyyylmf根据，：：0xF根据，：：0CMxyyxxxyxxyyylmflmfS(在上)xxxyxyyyflmfS(在上)oxyyfxfnxyxyyxBCA其中：l、m为边界点外法线的方向余弦。cos(,)cos(,)lxmynn是指边界面为坐标面，即边界面的外法线方向与坐标轴垂直或平行。如图在x=a的正面上，应力边界条件：,yyyxxybybff,xxxyyxaxaff在y=b的负面上，应力边界条件：可以简单地将面力视为应力，并按照两者符号一致为正，符号不一致为负。特殊边界面上的应力边界条件：xfyfxxyyxyyxxyyxxyoxfxfxfyfyfyflh/2h/2qyxoyσyxxyyσyxxσ1q例：坐标面上的应力边界条件解答：边界：，其应力边界条件：/2yhy负面，方向余弦：/2/2,0yyxyhyhxql边界：，其应力边界条件：/2yh边界，其应力边界条件：xl说明：(0,1)lm1/2/20,yyxyhyhq0,0xxyxlxl边界，其位移边界条件：0x000,0,0,0xxuuyvvy位移边界(),()SSuuvvy正面，方向余弦：(0,1)lmx正面，方向余弦：(1,0)lm是指曲面或斜截面边界如图，已知边界S上任一点的面力分量,xyff则其应力边界条件为：()()xxyxSSxySySylmflmf其中：l、m为边界面外法线的方向余弦。注意边界面的数学表达注意面力分量和应力分量的正负号规定注意边界面外法线方向余弦的正确表达一般边界面上的应力边界条件：yxfyfxyoxxySn例：斜截面上的应力边界条件tanyxnyxsincoslmcossinxyff对于一般边界面，写应力边界条件的四部曲：tantantantancossincossinsincosxxyyxyxxyyyxyxσ归纳与总结弹性力学问题中的基本内容弹性力学问题中的基本物理量应同时满足基本方程和边界条件，其解答才是唯一的、精确的。面力体力给定的位移值域内的位移边界上的位移边界上的应力域内的应力域内的应变外力位移静力平衡几何协调应力物理方程应力边界条件平衡微分方程几何方程位移边界条件归纳与总结弹性力学问题中的基本关系式思考与作业xqnoy()aBAxBCA2n1noy()bqq题1、在斜边界面上，作用有分布面力，其作用方向如图(a)所示，大小为常数，试列出应力边界条件。题2、如图(b)所示薄板，证明在凸角A点处，其应力分量均为零。q题1：在斜边界面上，直接应用应力边界条件公式，注意边界、面力、外法线方向余弦的正确表达。题2、在斜边界AC和AB上分别应用应力边界条件公式，联合求解即可。应力边界条件位移边界条件归纳与总结xxyxSSxyyySSlmflmf,uuSSuuvv注意：面力和应力在不同边界面上的正负号规定不同。记住：面力始终沿坐标正向为正，沿坐标负向为负；应力正面正向为正，负面负向为正，与之相反。归纳与总结1.对于应力边界条件，无论是特殊边界面还是一般边界面，均可以利用应力边界条件公式来写边界条件。2.在写应力边界条件时，关键在于正确写出边界、面力分量以及边界面外法线的方向余弦。3.在边界面上，若作用有集中力、弯矩或扭矩时，不能应用应力边界条件公式精确表达，在下节课中将应用圣维南原理进行近似表达。