浅谈矩阵Jordan标准形及其应用

聊城大学数学写作论文1数学写作论文题目:浅谈矩阵Jordan标准形及其应用专业代码:作者姓名:学号:单位:级班指导教师:年月日聊城大学数学写作论文2原创性声明本人郑重声明:所提交的学位论文是本人在导师指导下,独立进行研究取得的成果.除文中已经注明引用的内容外,论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明.本人承担本声明的相应责任.学位论文作者签名:日期指导教师签名:日期聊城大学数学写作论文3目录第一章引言………………………………………………………………1第二章基本概念…………………………………………………………12.1若尔当标准形的定义………………………………………………………12.2若尔当标准形的性质………………………………………………………3第三章若尔当标准形的应用…………………………………………………53.1矩阵分解论中的应用………………………………………………………53.2解矩阵方程中的应用……………………………………………………63.3解线性递推关系式中的应用………………………………………………………73.4哈密顿—凯莱定理的证明……………………………………………………11第四章结束语…………………………………………………………………13参考文献……………………………………………………………………………14致谢………………………………………………………………………………15聊城大学数学写作论文4摘要矩阵在高等代数中占有举足轻重的作用.而且矩阵有很多形式,本文主要介绍Jordan标准形的定义、性质及其应用,例如:每个n级复数都与一个若尔当形矩阵相似、复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的不变因子没有重根等,对于今后的高等代数的进一步研究学习有很大的帮助.关键词：若尔当标准形;矩阵分解;线性递推;哈密顿—凯莱定理AbstractMatrixisveryimportinhighlevelmathematic.Therearemanykindsofmatrix.Thispaperdescribesseveralequivalentdefinitionsofmathematic,andthenfocusedonthepropertiesofJordanmatrixandapplicationoftheJordanmatrixsuchaseverynlevelpluralissimilarforaJordonmatrix,pluralAissimilartodiagonallymatrixonthebaseoftheunconvertedfactorwithouttwosameresultsKeywordsJordanmatrix;matrixresolve;analysislinearly;Hamilton-Caylay聊城大学数学写作论文1浅谈矩阵Jordan标准形及其应用第一章引言在学习与代数相关的知识中,矩阵的学习是必须的,在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具.在研究矩阵相似问题时,若尔当块、若尔当标准形的定义及简单性质比较容易给出,但对若尔当标准形一些具有规律性的性质研究却很少,而正是这些性质使得若尔当标准形具有极其重要的理论和应用价值.对于若尔当标准形的性质及其应用,大多都是从相似的角度提及.但在大量实际应用中不难发现,将一般矩阵的问题化为若尔当标准形来讨论,可以使问题得到简化.为此,本文将围绕若尔当标准形的应用,从四个大方面:若尔当标准形在矩阵分解论中的应用、若尔当标准形在解线性递推关系式中的应用、若尔当标准形在矩阵方程中的应用、以及用若尔当标准形证明哈密顿—凯莱（Hamilton-Caylay）定理,来对若尔当标准形的应用进行归纳总结.本文以例题的形式给出了若尔当矩阵在这四个方面的应用,通过同常规解题方法的比较,不难得出,矩阵的若尔当标准形对于我们求解某些矩阵的幂、行列式的值以及证明都是很有用的.总的来说,本文从若尔当标准形的定义及简单性质出发,对若尔当标准形的应用做了系统的梳理.第二章Jordan标准形基本概念2．1定义形式为0......0001......000(,)00......1000......01ttJt聊城大学数学写作论文2的矩阵为若尔当（Jordan）块，其中是复数.由若干个若尔当块组成的准对角矩阵为若尔当形矩阵,其一般形式如12sJJJ,其中1=11iiiiiiikkJ,并且12,,......,s中有一些可以相等.特别地，一级若尔当块就是一级矩阵，因此若尔当矩阵包括对角矩阵.在复数域范围内,对任意方阵A总存在可逆矩阵P,使11kJPAPJ,其中11iiiJ为若尔当块1,2,,ik.而1kJJ称为A的若尔当标准形.聊城大学数学写作论文32.2性质性质1n级的复矩阵A的若尔当标准形除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A唯一确定的.性质2n级的复矩阵A的若尔当标准形J，主对角线上的元素正是A的特征多项式的全部的根，即A的全部特征值（重根按重数计算）.性质3复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，A的若尔当标准形全由1级的若尔当块构成.性质4设nnAC,()[]fxCx，若12,,,n为A的全部特征值,则()fA的全部特征值为12(),(),,()nfff,即11()0()()nfPfAPf.证明设110nPAP为A的若尔当标准形,再设10()mmfxaxaxa,则111100()nnfAfPPPfP11110000mmmnnPaaaEP聊城大学数学写作论文411()0()nfPPf，可见()fA的全部特征值为12(),(),,()nfff.性质5在复数域范围内,对任意方阵A总存在可逆矩阵P,使11kJPAPJ,则11KJAPPJ11mmmkJAPPJ.其中miJ111111mimmimmmmmmmmmiiCCCCC(1,2,,)ik.证明设011iiiiiJEA,001010A注意到：聊城大学数学写作论文5001010inA，200001100inA,,1000100iinnA，0(0)iinnA.于是11110000()mmmmmmmiiimimiJEAECACAA111111mimmimmmmmmmmmiiCCCCC第三章若尔当标准形的应用3.1若尔当标准形在矩阵分解论中的应用（Voss定理）设()nnAMatC，证明：A可以分解成两个对称矩阵之积，并且其中至少有一个是可逆的.例1设()nnAMatC，矩阵P和矩阵B都是11nn矩阵，记111()1Pn，11111111(,)1Bn，则有APB.证明矩阵P和矩阵B都是对称的11nn矩阵，且1()Pn是可逆的，并有聊城大学数学写作论文611111(,)()(,)JnPnBn又()nnAMatC，则A相似于一个若尔当矩阵，即存在()nnCMatC，使得1ACJC,其中1122((,),(,),,(,))ssJdiagJnJnJn取12((),(),,())TsPCdiagPnPnPnC111122()((,),(,),,(,))TssBCdiagBnBnBnC即满足B，P都是对称的，P是可逆的，并且APB.3.2若尔当标准形在矩阵方程中的应用我们以“设()nnAMatC，求矩阵X,使得AXXA”为例，说明Jordan标准形在解矩阵方程中的应用.为了描述结果，我们引进下面的记号.记(){((0,))()[]}TnngJngxCx如果121210()nnnngxtxtxtxt则010201210((0,))nnntttgJntttttt上面的矩阵也称为下三角形Toepliz矩阵。可以看出，对任意aC，(){((0,))()[]}{((,))()[]}nTnngJngxCxgJangxCx如果()BTnn，由于B是(0,)Jn的多项式，因此B能与00(,)((0,))nJnEJn交换。可以看出，()Tnn是()nnMatC的一个子空间，并且dim(())Tnnn.聊城大学数学写作论文7例2设()nnAMatC，求nn矩阵X,使得AXXA.解：存在()nnPMatC，P是可逆的，使得1PAP是A的Jordan标准形：12(,,,)sJdiagJJJ其中(,),1.kkkJJnks于是，当且仅当1YPAP是YJJY的一个解时，X是AXXA的一个解。将Y分块：11121321222312SSSSYYYYYYYYYY其中ijY是ijnn矩阵，1,1isjs，这时YJ，JY的计算都可以用分块乘法做.11112213211222231122SSSSSSSYJYJYJYJYJYJYJYJYJYJ，111112112212222212SSSSSSSSSJYJYJYJYJYJYJYJYJYJY求矩阵Y，就是求矩阵组1,1ijYisjs，使得ijjiijYJJY.如果ij，则ijjiijYJJY的解集合是0ijY；如果ij（包括ij），则ijjiijYJJY的解集合是{()}ijijYTnn，由此，原方程的解集合就已经完整地得到了.因此我们有下面的结论。结论：设()nnAMatC，如果A的若尔当标准形中的各若尔当块所属的特征值两两不同，则与A可交换的矩阵必定是A的多项式.这就是说：上述条件是{()|}{()[]}nnXMatCAXXAgACx的充分必要条件.3.3若尔当标准形在解线性递推关系式中的应用定理设1122nnnknkSaSaSaS（其中12,,,kaaa为已知常数）是一个线性递推关系.1PAPJ,其中J为矩阵A的若尔当标准形,而矩阵聊城大学数学写作论文8121100001000010kkaaaaA是由线性递推关系式所唯一确定的k阶方阵.如果12111121kknkkdSdSPJPdSdS，则nkSd.证明1122nnnknkSaSaSaS112231nknknkknSaSaSaS从而1122312233nknknkknnknknnknknnSaSaSaSSSHSSSS2121311100001000010nkkknknnnSaaaaSAHSS