一维定态波函数宇称的讨论

一维定态波函数宇称的讨论一、一维定态波函数波函数是量子力学中描写微观系统状态的函数。在经典力学中，用质点的位置和动量（或速度）来描写宏观质点的状态，这是质点状态的经典描述方式，它突出了质点的粒子性。由于微观粒子具有波粒二象性，粒子的位置和动量不能同时有确定值（即测不准关系），因而质点状态的经典描述方式不适用于对微观粒子状态的描述，物质波于宏观尺度下表现为对几率波函数的期望值，不确定性失效可忽略不计。在量子力学中，为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数，并用表示。一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即）（tzyx,,,，它是薛定谔方程的解，物理意义表达为：在空间某点附近发现实物粒子的概率正比于粒子波函数绝对值的平方。二、简并能级与非简并能级能级的简并就是微粒运动状态不同，但是能量（能级）一样；非简并就是每个不同运动状态的微粒具有不同的能量。量子力学中，解薛定谔方程能够得到一些相应的量子数，这些量子数能描述微粒的运动状态，比如：氢原子中的电子有：主量子数n、角量子数l、磁量子数m、自旋量子数s、自旋磁量子数ms(s是下标)，拥有不同量子数的电子说明运动状态不同。在没有外加磁场的情况下，电子的能量只和n有关，而和其他4个量子数无关，但是同一个n下有n²种运动状态（量子力学或者原子物理中的相关结论），我们就说能级En是n²度简并的，表示同一个能级En下电子最多可以有n²种运动状态。对于线性谐振子来说，n与能级是一一对应的，所以线性谐振子是非简并系统。需要指出的是，有些简并能级在特殊情况下会变为非简并的，比如电子在磁场中由于磁量子数的变化，能级会分裂。三、对一维定态波函数宇称的理解1.对宇称的理解引入宇称算符比较容易说明。宇称算符没有经典对应的力学量，宇称算符用P标记，表示将波函数的坐标变量对原点做空间反演，即)()(xxP。如果势函数是偶函数，那么它在空间反演下是不变的。换句话说，哈密顿量与宇称算符对易。于是可以选哈密顿量和宇称算符的共同本征态作为本征态组，使得问题得到简化。而宇称算符的本征态只有两个：奇宇称态和偶宇称态，所以我们这样选出的本征态组要么是奇宇称要么是偶宇称。当然，我们有选择的自由，完全可以选那些没有一定宇称的态作为本征态，但在多数情况下，这只会徒增麻烦。但是，如果只选择例如奇宇称态作为本征态组，那么这个本征态组往往是不完备的，所以多数情况下不能只选一种宇称。在一维问题中，可以证明如果两个本征态对应同一能量，他们最多差一个常系数，而这个常系数可以由归一化消去，所以对应同样的态；也就是说，此时哈密顿量的本征态都有确定宇称。另外在维基百科上得到有关宇称的公式定义是lP)1(其中l为角量子数1P为偶宇称，1-P为奇宇称。所以我认为可能是角量子数决定了波函数的宇称奇偶性，不是波函数本身的奇偶性决定的。宇称算符是厄米算符也是幺正算符，下面证明它是幺正算符：PP1。证明：我们用P作用于)()(xxP得：)()()(2xxPxP又因为IP2即1PP所以PPPP1故宇称算符是厄米算符。下面我们讨论在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(xUxU，讨论粒子的定态波函数是否具有确定的宇称。我们知道，一维束缚定态的能级都是非简并的，为了方便讨论，下面先介绍什么是非简并性定理，给出两个定理（它们的证明这里不讨论）：定理1.对于一维定态薛定谔方程，如果)(1x和)(2x是对应于同一本征值E得两个解，则有cxxxx)()()()('12'21（常数）①定理2.若一维定态波函数)(x在某区间连续可微，则0|)(axx时，有0)('a，否则在此区间0)(x。非简并性定理的证明通常如下：设)(1x和)(2x是对应于同一本征值E得两个解，对于束缚态，当x时，0,21，由定理1可得：0'12'21②因此有)()(21xcx③上述证明表明，当势场)(xV不存在奇点时显然正确。然而，在实际问题中，)(xV经常是不连续的，甚至存在奇异点。此时，薛定谔方程应该分区求解，再由边界条件定解。为了研究定态波函数在)(xV存在奇异点时的性质，不失一般性，可以取一点ax，（设在ax区域中)(xV有限），设)(1x和)(2x是对应于同一本征值E得两个解，由于1（或2）在),(a和),(a中分别满足定态薛定谔方程，可得下式：axxcaxxcx),(),()(22211④其中21,cc为任意常数，利用波函数的连续性条件：)()0()0()()0()0(222111aaaaaa⑤又由④式，有)0()0()0()0(221211acaaca⑥因此得到0)()(0)()(221121accacc⑦I.当ax不是)(xV的奇异点(可以不连续)时，)(),('2'1xx应在ax处连续，同理导致0)()()()('221'121accacc⑧结合⑦、⑧式，要使21cc，则有0)()(,0)()('2'121aaaa由定理2，导致0)()(21xx。矛盾，所以有21cc⑨即得到非简并性定理的结论。II.当ax是)(xV的奇点时（)(aV）。一阶微商连续条件并不满足，可知当0)()(21aa时，21cc可能成立。此时)(1x和)(2x显然线性无关，得到能级简并的结果。综上所述,有以下结论:*当粒子在)(xV不存在奇异点的区域（或仅在定义域两端存在奇异区域中运动时，一维束缚定态的所有能级都是非简并的。这即非简并性定理的充分条件。*能级出现简并的必要条件是)(xV在某区域内存在奇异点ax，且0)()(21aa⑩下面对上面在一维势场中运动的粒子进行分析。I.情况一：非简并能级的定态波函数在一维势场中运动的粒子的定态薛定谔方程为)()()()(2222xExxUxdxd①将式中的)(xx以代换，得)()()()(2222xExxUxdxd②利用)()(xUxU，得)()()()(2222xExxUxdxd③比较①、③式可知，)()(xx和都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此)()(xx和之间只能相差一个常数c。方程①、③可相互进行空间反演)(xx而得其对方，由①经xx反演，可得③，)()(xcx④由③再经xx反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。)()(xcx⑤④乘⑤，得)x()x(c)x()x(2可见，12c1c当1c时，)x()x(，)(x具有偶宇称，当1c时，)()(xx，)(x具有奇宇称，故当势场满足)()(xUxU时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。II.情况二：简并能级的定态波函数)()(xUxU的场合不只是有束缚态，还有非束缚态，而两端均是不限一维运动的能级是二重简并的，做这种运动的粒子的定态波函数中)(x就不一定具有确定的宇称。例如:做一维自由运动的粒子，0)(xU，满足)()(xUxU的条件，但能级E是二重简并的，)(x就不一定具有确定的宇称。例如下面波函数：)exp()(1pxiAx与)-exp()(2pxiAx，它们同属于一个能级22pE，但没有确定的宇称。参考文献[1]曾谨言.《量子力学》上册,第177页，科学出版社，1982[2]曾谨言.《量子力学》上册,第59页，科学出版社，1982