高中数学周期函数、公式总结、推导、证明过程

1高中数学涉及周期的公式，例题，证明周期公式序号公式T理解或者公式特点例题1自变量的和不是常数，两个自变量之差是常数，两个函数值相加为常数。2即是上一个公式的特例2a两个自变量之差是常数。两个函数值相加为常数。32a正负号，倒数，两个自变量之差是常数。44a类似第3个公。52a类似第3个公式。6例如：整理后：令x=x+1得到：6a两个函数值之和等于另一个函数值，且两个作为加数的函数的自变量是7图像向左平移a个单位，和向左平移b个单位重合。原来两个点x坐标差的距离就是他们的周期。两个自变量之差是常数，两个函数值相等。8函数f(x)的图像S有两个对称轴x=a,x=b（a≠b）2|a-b|对称轴多和偶函数以及一个函数图像的自对称这两个知识点相关9函数f(x)的图像S有两个对称中心和（a≠b）2|a-b|对称中心多和奇函数以及一个函数图像的自对称这两个知识点相关210函数f(x)的图像S有一个对称中心和一条对称轴x=a，（a≠b）4|a-b|知识点涉及奇函数、偶函数以及函数图像的自对称以上基本是高中阶段遇到的各种周期公式及其变形的总结。解周期问题，两种方法：1.列举多个数据，找寻规律和周期；2.通过抽象函数直接得到周期。1.已知f(X)是R上不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x+1)=(x+1)f(x)，则f[f(52)]=解：令x=0，f(0)=0;令x=−12，f(−12)=0；令x=12，f(32)=0；令x=32，f(52)=0；∴f[f(52)]=f(0)=02.定义在R上的函数f(x)满足f(x)={log2(1−𝑥),𝑥≤0𝑓(𝑥−1)−𝑓(𝑥−2),𝑥0，则f(2009)=解：整理f(x)=𝑓(𝑥−1)−𝑓(𝑥−2)，得到f(x−1)=f(x)+f(x−2)令x=x+1得到，f(x)=f(x+1)+f(x−1)由公式6知道周期为6，即f(x+6)=f(x)，x0f(2009)=f(334×6+5)=f(5)。由公式f(x)=𝑓(𝑥−1)−𝑓(𝑥−2)3得f(5)=f(4)−f(3)=(f(3)−f(2))−f(3)=−f(2)=−(f(1)−f(0))=−((f(0)−f(−1))−f(0))=f(−1)=03.已知函数f(x)满足f(1)=14，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x−y),x,y∈R，则f(2010)=思路：消元和赋值。令x=x,y=1，则f(x)=f(x+1)+f(x−1)，根据公式6知道，f(x+6)=f(x)，∴f(2010)=f(335×6)=f(0)。令y=0，则4f(x)f(0)=2f(x)，∵x不恒为零，∴f(0)=12∴f(2010)=12。下面两页是周期函数公式的周期推导证明过程，并总结了推导周期过程的一般思路。因为word输入数学公式太过麻烦，所以手写了出来，以图片的形式奉上。456