第22章-相似三角形复习课

1.成比例的数（线段）：叫做四个数成比例。那么或若,::cbaddcbadcba==,,,若a、b、c、d为四条线段，如果（或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例的线段，简称比例线段.acbd=顺序性1.若a,b,c,d(构)成比例,且a=2,b=3,c=4,那么d=64、下列各组线段的长度成比例的是（）A.3cm,2m,6cm,1cmB.1.5cm,2.5cm,6.5cm,4.5cmC.1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cmD.1.5cm,2cm,3cm,4cm练习:D顺序性2.已知2,3,4三个数，请你再添上一个数，使他构成一个比例式，这个数可以是_______。3.已知2,3,4三个数，请你再添上一个数，使他构成一个比例式,写出一个比例式。_______.2.比例中项：.____82.____82比例中项是的与线段的比例中项是与数cmcm4cm4当两个比例内项相等时，即abbc=，(或a：b=b：c)，那么线段b叫做a和c的比例中项.2acb=即：1.基本性质：,acbd=如果那么ad=bc(b0,d0),acabcdbdbd==如果那么（b0,d0）即两内项之积等于两外项之积2.合比性质：3.等比性质：312123123123312123123......0,.........nnnnnnnaaaabbbbbbbbaaaaaaaabbbbbbbb========如果且则有=a5,b2=易错题：已知下列等式中不一定成立的是（）2552772abAabBabCabDb====C避免错误：设a=5k，b=2k4.:abcab已知5=b:7=c:9,试求的值:==579abca分析：将5=b:7=c:9改写成利用等比性质或设出辅助量求解==57957972137abcabcbabcb===解法一：===5795,7,957921377abckakbkckabckkkkbkk======解法二：设==,abckkbcacab=已知求的值()()()22212abckbcacababckabc==当a+b+c0时解：(1)由等比性质得即k=,-1-12=1aakbcakk===(2)当a+b，b+c=-a即综上所述的值为+时或c0经典易错题如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果ACABACBC=那么称线段AB被点C黄金分割(goldensection),点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比,这个比值叫黄金数CAB√5–12≈0.618ACABACBC==AC2=AB∙BC什么是黄金分割？易错题：线段AB=10cm，点C是AB的黄金分割点(靠近点B),则AC与BC的长分别是多少？易错题：线段AB=10cm，点C是AB的黄金分割点则AC与BC的长分别是多少？例1:在图纸或工程图纸上都标有比例尺，比例尺就是图上长度与实际长度的比.现有比例尺为1:5000的图纸上,量得一个△ABC的三边:AC=3cmBC=4cm,AB=5cm,求图纸反映的实际△A1B1C1的周长1111111111111111111500015000=12=5000ABBCACABBCACABBCACABBCACABBCACABBCACABBCAC====解：由题意，得又（）=60000cm=600m111600m答:图纸上ABC的周长为比例尺和周长问题比例尺和面积问题1、钓鱼岛是钓鱼岛列岛的主岛，是中国固有领土，位于中国东海,在一张比例尺为1:100000的地图上，测得图上的面积约为6.34cm²，请计算钓鱼岛的实际面积是多少平方公里？解：钓鱼岛的设实际面积是xkm²由题意得：26.341100000x=解得：x=6.34答：钓鱼岛的实际面积是6.34km²平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截,所得的对应线段成比例.符号语言：l1∥l2∥l3EFDEBCAB=下上下上=DFDEACAB=全上全上=DFEFACBC=全下全下=可以推广到被n条平行线所截推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线），所得的对应线段成比例。推论的几何语言：∵DE∥BCADAEABAC∴————＝（推论）ABCDEABCED1、如图：EF∥AB，BF：FC=5：4，AC=3厘米，则CE=（）ABEFCABEFCDADAFABADADABACAEAFDFADDBAFADAEACABDC２、已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥DC，那么下列结论不成立的是()B43cm1．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似比：相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。∽ABCA’B’C’,如果BC=3,B’C’=1.5,那么A’B’C’与ABC的相似比为_________.21平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。预备定理：在△ABC中，∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC符号语言：ABCDE（图1）（图2）DEOBC“A”型“X”型三角形相似的判定方法有哪几种?3:如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（）A1对B2对C3对D4对相似三角形判定定理1：两个角对应相等的两个三角形相似A=DB=E△ABC∽△DEFABCDEF练习1.已知，如图2，要△ABC∽△ACD，需要条件；ABCD图2∠B=∠ACD或∠ADC=∠ACB练习.如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条C相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.ABDE=ACDFA=D△ABC∽△DEFABCDEF相似三角形判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似.ABCDEFABDE=ACDF=BCEF△ABC∽△DEF相似三角形判定定理4：在直角三角形中，一条斜边和一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。ABCDEF90ACABABCDEFDFDEBE===∽相似三角形的判定：（1）平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)相交；（2）两角对应相等；（3）两边对应成比例且夹角相等；（4）三边对应成比例；（5）直角三角形中一条斜边和一条直角边对应成比例。相似三角形常见的几种基本图形：1.如图：称为“平行线型”的相似三角形ABCDEAABBCCDDEE2.如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形ABCDE12AABBCCDDEE12412经典易错题3135....5248ABCD_______====1ABCAEBCDCEAE3AEAE8BD4DE5BE、在中，和交于点，，且，，则的值为EADCB,13ABCDEGEGDCEAD==1、在△中，分别是BC,AD的中点，AD,CE相交于G。求证：ABEDCGNDEABC例5、如图,(1)求证:∠BAD=∠CAE;(2)若已知AB=6,BD=3,AC=4,求CE的长.AEACDEBCADAB==(1)∵得∴ΔABC∽ΔADE∴∠BAC=∠DAE∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAEAEACADAB=(2)由AEADACAB=∴∵∠BAD=∠CAE∴ΔABD∽ΔACECEBDACAB=∴2643===ABACBDCE∴证明：AEACDEBCADAB==如图,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE∵∠ADC是△ABD的外角∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1）21证明：∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠B=∠C=45°又∵∠ADE=45°∴∠ADE=∠B∴∠1=∠2∴△ABD∽△DCEABCDE（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值解：∵△ABD∽△DCE1xy1y2x∴ABBDCDCE=112xyx=即∴12yxx=∴221yxx=2212202yxx=当22x=时12y=最小值如图,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°ABCDE相似三角形的性质：1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例2、相似三角形的周长比等于相似比，对应高、对应角平分线，对应中线的比都等于相似比3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。定义：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.相似多边形的判定：对应角相等、对应边的比相等一、选择题1.(桂林中考)如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1∶2，则△ADE与△ABC的面积比为()(A)1∶2(B)1∶4(C)2∶1(D)4∶1【解析】选B.相似三角形的面积之比等于相似比的平方.A19、如图（６），△ＡＢＣ中，ＤＥ⁄⁄ＦＧ⁄⁄ＢＣ，ＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ=_________答案：１：３：５ABC画一画1、在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图4×4的格纸中,△ABC是一个格点三角形(1)在右图中,请你画一个格点三角形,使它与△ABC相似(相似比不为1)(2)在右图中,请你再画一个格点三角形,使它与△ABC相似(相似比不为1),但与图1中所画的三角形大小不一样.ABCABCABC2,22,252,2,105,10,5251251251例1、如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC=BC.求证:AE⊥EF14证明:∵四边形ABCD是正方形∴BC=CD=AD，∠D=∠C=90°∵E是BC中点，FC=BC14∴12DEAD=12CFCE=DECFADCE=∴∴△ADE∽△ECFABCDEF123∴∠1=∠2∵∠D=90°∴∠1+∠3=90°∴∠2+∠3=90°∴AE⊥EF