第四章-线性预测

线性预测与格型滤波器前向预测后向预测格型滤波Levinson-Durbin算法HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第22页页第第22页页1、前向线性预测误差滤波器设信号属于实平稳随机信号，前向线性预测误差滤波器直接由信号的线性一步预测导出。,1,1ˆ()-(-)ˆ()()-()=()+(-)ppkkpppkkxnaxnkenxnxnxnaxnk====∑∑(-1),(-2),,(-)(),xnxnxnpxn由预测ˆ()()pxnen其估计值和预测误差用下式表示：HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第33页页第第33页页,()ppkena因信号是实的，式中预测误差和系数均是实数，ˆ()(-1)(-2)(-)xnnpxnxnxnp是由时刻以前的个数据、得到的估计，()pen因此称为前向线性预测误差。z对上式进行变换，得到：-,1()()()pkppkkEzXzaXzz==+∑HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第44页页第第44页页--,,,010()()1,1()pppkkfpkpkpkkEzHzazazaXz====+==∑∑()fHz称为前向预测误差滤波器的系统函数。前向预测误差滤波器的结构如图所示。-1z-1z-1z()xn,0pa,1pa,1ppa−,2pa,ppa()penHANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第55页页第第55页页(),2,:()01,2,,()(-)=01,2,,pkppkpaEenkpaEenxnkkp⎡⎤∂⎢⎥⎣⎦=∂⎡⎤=⎣⎦用均方误差最小的准则求前向预测误差滤波器的最佳系数＝　可得表明前向预测误差与用于预测的数据正交，这就是对于前向预测误差的正交原理。HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第66页页第第66页页,,12,1Yule-Walker()(-)01,2,3,,(0)()pkpxxpixxkppxxpixxiakakikpaiφφσφφ==⎧+==⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∑∑前向预测误差滤波器的最佳系数和信号的自相关函数之间的关系式称为方程式。重写如下：HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第77页页第第77页页()21,22min1(0)(1)()(1)(0)(-1)0(0)()(-1)(0)0()xxxxxxppxxxxxxxxppxxxxxxpppapappEenφφφσφφφφφφφσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦#####，将上式用矩阵方程表示为：式中，。(0)(1)()xxxxxxpφφφ如果已知信号自相关函数，，，可由上式解出前向线性预测误差滤波器的最佳系数，以及最小前向预测误差。HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第88页页第第88页页2、后向线性预测误差滤波器(1),(2),,()()xnxnxnpxn+++如果利用数据预测，则称为后向预测，',1ˆ'()ˆ'()-()ppkkxnxnaxnk==+∑其估计值用表示：HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第99页页第第99页页这两种预测数据之间的关系如图所示。()(-1),(-2),,(-)xnxnxnxnp一般前向、后向预测用同一数据进行，即利用，进行预测，',1ˆ'(-)-(-)ppkkxnpaxnpk==+∑ˆ(-)(-1),,(-1)()xnpxnpxnxn+前向预测是由，预测，(-1)(-2),()(-)xnpxnpxnxnp++后向预测是由，，预测。HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第1010页页第第1010页页(-)(-1),(-2),(-1),()xnpxnpxnxnxn+，后向预测前向预测HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第1111页页第第1111页页()-pbnnp设后向预测误差表示（表示信号在时刻的预测误差）Yule-Walker同样，利用最小均方误差的准则，可以得到后向预测的正交原理以及方程。ˆ()(-)-'(-)pbnxnpxnp=HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第1212页页第第1212页页',12,1Yule-Walker()(-)01,2,3,,'(0)'()pxxpixxkppxxpixxikakikpaiφφσφφ==⎧+==⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∑∑方程式：()(-)01,2,,pEbnxnpkkp⎡⎤+==⎣⎦2'pσ是后向预测误差的最小误差功率。HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第1313页页第第1313页页',,22,1,2,3,,='pkpkppaakpσσ==有如下重要关系：上两式表示前、后向预测的最小误差功率相等，系数也相等（如果是复数，则是共轭关系）。HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第1414页页第第1414页页,-,00()(-)1ppppkpkbnaxnka===∑也可写成下式：,,00()(-)1pppkpkbnaxnpka==+=∑01,2,3,,-,-1,-2,,0-kppkpppPkk===式中，当，时，用代入上式HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第1515页页第第1515页页后向预测误差滤波器的结构图所示。-1z-1z-1z()xn,ppa,-1ppa,1pa,-2ppa,0pa()pbn对比前向预测误差滤波器的结构图，可知它们系数一样，但排序是逆转排列。HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第1616页页第第1616页页z对上式进行变换，得到：--,1()()()pppkppkkBzXzzaXzzz==+∑,,00()(-)1pppkpkbnaxnpka==+=∑-,1()()1()pppkbpkkBzHzzazXz=⎛⎞==+⎜⎟⎝⎠∑()bHz后向预测误差滤波器的系统函数为：HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第1717页页第第1717页页与前向预测误差滤波器的系统函数对比，得到前、后向预测误差滤波器的系数函数之间的关系是：--1()()pbfHzzHz=,1()()+(-)pppkkenxnaxnk==∑前向预测滤波器：-1,1()(-)(-)pppkkbnxnpaxnpk==++∑后向预测误差滤波器：HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第1818页页第第1818页页2Yule-Walker(Hermitain)Toeplitz)Levinson-Dubinp如果利用方程中的自相关矩阵是埃尔米特和托布列斯（矩阵的特点，且至少是半正定的，可以有效地减少运算量:如递推算法，它的运算量级是。23,Yule-Walker(1,2,3,),pkpakppσ=为了求解前、后向预测误差滤波器的最佳系数，需要解方程。可以采用高斯消元法解出以及但需要量级运算量。HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第1919页页第第1919页页复习,1()()+(-)pppkkenxnaxnk==∑前向预测滤波器：前向预测误差滤波器的结构:-1z-1z-1z()xn,0pa,1pa,1ppa−,2pa,ppa()pen后向预测误差滤波器的结构:-1z-1z-1z()xn,ppa,-1ppa,1pa,-2ppa,0pa()pbn-1,1()(-)(-)pppkkbnxnpaxnpk==++∑后向预测误差滤波器：HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第2020页页第第2020页页ExampleHANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第2121页页第第2121页页PowerSpectralDensityEstimate00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-120-110-100-90-80-70-60-50-40-30-20Normalizedfrequency(×πrad/sample)One-sidedPSD(dB/rad/sample)PeriodogramPowerSpectralDensityEstimatePSDestimateofxPSDofmodeloutputHANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第2222页页第第2222页页LinearPrediction020406080100120140160180200-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1SampletimeSignalvalueOriginalautoregressivesignalSignalestimatefromlinearpredictorHANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第2323页页第第2323页页选做作业•根据“SpeechProcessing.pdf”文档提供流程，编程仿真线性预测在语音处理中的应用HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第2424页页第第2424页页1.问题的提出2.k阶Yule-Walker方程的特点⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−001)0()1()()1()0()1()()1()0(2,1,######kkkkaaRkRkRkRRRkRRRσ某阶方程系数矩阵包含了前面各阶系数矩阵系数矩阵先进行列倒序再进行行倒序，矩阵不变Levinson-Durbin算法HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第2525页页第第2525页页⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−001)0()1()()1()0()1()()1()0(2,1,######kkkkaaRkRkRkRRRkRRRσ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−++++++0001)0()1()()1()1()0()1()()()1()0()1()1()()1()0(211,1,11,1#######kkkkkkaaaRRkRkRRRkRkRkRkRRRkRkRRRσk+1阶Yule-Walker方程k阶Yule-Walker方程HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第2626页页第第2626页页⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−001)0()1()()1()0()1()()1()0(2,1,######kkkkaaRkRkRkRRRkRRRσk阶Yule-Walker方程将k阶Yule-Walker方程增加1行1列得扩大方程⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−+kkkkkDaaRRkRkRRRkRkRkRkRRRkRkRRR0001)0()1()()1()1()0()1()()()1()0()1()1()()1()0(2,1,#######σ1)1(0,0=−+=∑=kkiikkaikRaD，其中：HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第2727页页第第2727页页⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−+kkkkkDaaRRkRkRRRkRkRkRkRRRkRkRRR0001)0()1()()1()1()0()1()()()1()0()1()1()()1()0(2,1,#######σ将扩大方程行和列倒序得预备方程⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−+21,,0010)0()1()()1()1()0()1()()()1()0()1()1()()1()0(kkkkkDaaRRkRkRRRkRkRkRkRRRkRkRRRσ#######HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第2828页页第第2828页页⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥