小学奥数经典题型1-6年级

学习资料收集于网络，仅供参考学习资料1-1卖马从前，有一个商人特别精明。有一次，他在马市上用10两银子买了一匹马，一转手以20两银子的价钱卖了出去;然后，他再用30两把它买进来，最后以40两的价钱卖出。在这次马的交易中，他赚了多少钱?参考答案：这次买卖可分为两次来看。第一次买进10两银子，卖出20两银子，所以赚了10两银子。第二次买进30两银子，卖出40两银子，因此也赚了10两银子。在马的交易中，商人共赚了20两银子。人数小亮走进教室，看见教室里只有8名同学，那么现在教室里一共有几名同学?参考答案：粗心的小朋友一看题目就认为是8名同学，但这个答案是错的，认真审题后可以发现，题中已经指出小亮走进教室，因此现在同学的人数应该包括小亮，所以一共有9名同学。蜗牛爬井一只蜗牛沿着10米深的井往上爬，白天向上爬5米，到夜里往下滑了3米，那么蜗牛什么时候可以爬出井口?参考答案：小蜗牛白天爬上了5米，晚上又掉下了3米，那实际上每天只能爬上去2米，爬前6米小蜗牛用了3天，还剩4米，因此第4天就可以爬出去了。赛跑小动物们举行动物运动会，在长跑比赛中有4只动物跑在小松鼠的前面，有3只动物跑在小松鼠的后面，一共有几只动物参加长跑比赛?参考答案：这道题要明确问题的关键，我们可以把跑步的所有小动物看成一个队列，小松鼠前面有4只小动物，后面有3只小动物，在这个队列中，就是没有数松鼠自己，所以求这队的总数还要把小松鼠加上。4+3+1=8(只)，一共有8只动物参加长跑比赛。数萝卜小灰兔有10个萝卜，如果小白兔给小灰兔3个萝卜，它俩的萝卜就一样多，小白兔有多少个萝卜?参考答案：如果小白兔给小灰兔3个萝卜，它俩的萝卜就一样多，一样多时都是13个，求小白兔原来额萝卜，就要把它给小灰兔的3个加上所以是16个。学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2-1自然数列趣题本讲的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的思维方法一般是运用枚举法及分类统计方法，望同学们能很好地掌握它。例1小明从1写到100，他共写了多少个数字“1”?解：分类计算：“1”出现在个位上的数有：1，11，21，31，41，51，61，71，81，91共10个;“1”出现在十位上的数有：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共10个;“1”出现在百位上的数有：100共1个;共计10+10+1=21个。例2一本小人书共100页，排版时一个铅字只能排一位数字，请你算一下，排这本书的页码共用了多少个铅字?解：分类计算：从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9(个);从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用2×90=180(个);第100页，只1页共用3个铅字，所以排100页书的页码共用铅字的总数是：9+180+3=192(个)。例3把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是多少?解：(见图5—1)先按题要求，把1到100的一百个自然数全部写出来，再分类进行计算：如图5—1所示，宽竖条带中都是个位数字，共有10条，数字之和是：(1+2+3+4+5+6+7+8+9)×10=45×10=450。窄竖条带中，每条都包含有一种十位数字，共有9条，数字之和是：1×10+2×10+3×10+4×10+5×10+6×10+7×10+8×10+9×10=(1+2+3+4+5+6+7+8+9)×10学习资料收集于网络，仅供参考学习资料=45×10=450。另外100这个数的数字和是1+0+0=1。所以，这一百个自然数的数字总和是：450+450+1=901。顺便提请同学们注意的是：一道数学题的解法往往不只一种，谁能寻找并发现出更简洁的解法来，往往标志着谁有更强的数学能力。比如说这道题就还有更简洁的解法，试试看，你能不能找出来?学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2-2数与形相映形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了.古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子.例1最初的数和最简的图相对应.这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的.例2我国在春秋战国时代就有了“洛图”(见下图).图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示.你能把这张图用自然数写出来吗?见下图所示，这个图又叫九宫图.例3古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘.比如他把1，3，6，10，15，…叫做三角形数.因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图.毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律，发现每一个三角形数，都可以写成从1开始的n个自然数之和，最大的自然数就是三角形底边圆点的个数.第一个数：1=1第二个数：3=1+2第三个数：6=1+2+3第四个数：10=1+2+3+4第五个数：15=1+2+3+4+5…学习资料收集于网络，仅供参考学习资料第n个数：1+2+3+4+5+…+n指定的三角形数.比如第100个三角形数是：例4毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图.因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形，因此它们最受毕达哥拉斯及其弟子推崇.第一个数：1=12=1第二个数：4=22=1+3第三个数：9=32=1+3+5第四个数：16=42=1+3+5+7第五个数：25=52=1+3+5+7+9…第n个数：n2=1+3+5+9+…+(2n-1).四角形数(又叫正方形数)可以表示成自然数的平方，也可以表示成从1开始的几个连续奇数之和.奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数.例5类似地，还有四面体数见下图.仔细观察可发现，四面体的每一层的圆点个数都是三角形数.因此四面体数可由几个三角形数相加得到：第一个数：1第二个数：4=1+3第三个数：10=1+3+6第四个数：20=1+3+6+10第五个数：35=1+3+6+10+15.学习资料收集于网络，仅供参考学习资料例6五面体数，见下图.仔细观察可以发现，五面体的每一层的圆点个数都是四角形数，因此五面体数可由几个四角形数相加得到：第一个数：1=1第二个数：5=1+4第三个数：14=1+4+9第四个数：30=1+4+9+16第五个数：55=1+4+9+16+25.例7按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重要的公式.由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系.方法1：先算空心点，再算实心点：22+2×2+1.方法2：把点图看作一个整体来算32.因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：22+2×2+1=32.方法1：先算空心点，再算实心点：32+2×3+1.方法2：把点图看成一个整体来算：42.因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：32+2×3+1=42.学习资料收集于网络，仅供参考学习资料方法1：先算空心点，再算实心点：42+2×4+1.方法2：把点图看成一个整体来算52.因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：42+2×4+1=52.把上面的几个等式连起来看，进一步联想下去，可以猜到一个一般的公式：22+2×2+1=3232+2×3+1=4242+2×4+1=52…n2+2×n+1=(n+1)2.利用这个公式，也可用于速算与巧算.如：92+2×9+1=(9+1)2=102=100992+2×99+1=(99+1)2=1002=10000.学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2-3速算与巧算例12×4×5×25×54=(2×5)×(4×25)×54(利用了交换=10×100×54律和结合律)=54000例254×125×16×8×625=54×(125×8)×(625×16)(利用了=54×1000×10000交换律和结合律)=540000000例35×64×25×125将64分解为2、4、8=5×(2×4×8)×25×125的连乘积是关键一=(5×2)×(4×25)×(8×125)步.=10×100×1000=1000000例437×48×625=37×(3×16)×625注意37×3=111=(37×3)×(16×625)=111×10000=1110000例527×25+13×25逆用乘法分配律，=(27+13)×25这样做叫提公因数=40×25=1000例6123×23+123+123×76注意123=123×1;再=123×23+123×1+123×76提公因数123=123×(23×1+76)=123×100=12300例781+991×9把81改写(叫分解因=9×9+991×9数)为9×9是为了下=(9+991)×9一步提出公因数9=1000×9=9000例8111×99=111×(100-1)=111×100-111=11100-111学习资料收集于网络，仅供参考学习资料=10989例923×57-48×23+23=23×(57-48+1)=23×10=230例10求1+2+3+…+24+25的和.解：此题是求自然数列前25项的和.方法1：利用上一讲得出的公式和=(首项+末项)×项数÷21+2+3+…+24+25=(1+25)×25÷2=26×25÷2=325方法2：把两个和式头尾相加(注意此法多么巧妙!)想一想，这种头尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼补法”有联系吗?例11求8+16+24+32+…+792+800的和.解：可先提公因数8+16+24+32+…+792+800=8×(1+2+3+4+…+99+100)=8×(1+100)×100÷2=8×5050=40400例12某剧院有25排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，问这个剧院一共有多少个座位?解：由题意可知，若把剧院座位数按第1排、第2排、第3排、…、第25排的顺序写出来，必是一个等差数列.那么第1排有多少个座位呢?因为：第2排比第1排多2个座位，2=2×1第3排就比第1排多4个座位，4=2×2第4排就比第1排多6个座位，6=2×3学习资料收集于网络，仅供参考学习资料这样，第25排就比第1排多48个座位，48=2×24.所以第1排的座位数是：70-48=22.再按等差数列求和公式计算剧院的总座位数：和=(22+70)×25÷2=92×25÷2=1150.学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2-4数数与计数例1数一数，下面图形中有多少个点?解：方法1：从上到下一行一行地数，见下图.点的总数是：5+5+5+5=5×4.方法2：从左至右一列一列地数，见下图.点的总数是：4+4+4+4+4=4×5.因为不论人们怎样数，点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不同而变化.所以应有下列等式成立：5×4=4×5从这个等式中，我们不难发现这样的事实：两个数相乘，乘数和被乘数互相交换，积不变.这就是乘法交换律.正因为这样，在两个数相乘时，以后我们也可以不再区分哪个是乘数，哪个是被乘数，把两个数都叫做“因数”，因此，乘法交换律也可以换个说法：两个数相乘，交换因数的位置，积不变.如果用字母a、b表示两个因数，那么乘法交换律可以表示成下面的形式：a×b=b×a.方法3：分成两块数，见右图.学习资料收集于网络，仅供参考学习资料前一块4行，每行3个点，共3×4个点.后一块4行，每行2个点，共2×4个点.两块的总点数=3×4+2×4.因为不论人们怎样数，原图中总的点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不同而变化.所以应有下列等式成立：3×4+2×4=5×4.仔细观察图和等式，不难发现其中三个数的关系：3+2=5所以上面的等式可以写成：3×4+2×4=(3+2)×4也可以把这个等式调过头来写成：(3+2)×4=3×4+2×4.这就是乘法对加法的分配律.如果用字母a、b、c代表三个数，那么乘法对加法的分配律可以表示成下面的形式：(a+b)×c=a×c+b×c分配律的意思是说：两个数相加之和再乘以第三数的积等于第一个数与第三个数的积加上第二个数与第三个数的积之和.进一步再看，分配律是否也适用于括号中是减法运算的情况呢?请看下面的例子：计算(3-2)×4和3×4-2×4.解：(3-2)×4=1×4=43×4-2×4=12-8=4.两式的计算结果都是4，从而可知：(3-2)×4=3×4-2×4这就是说，这个分