数列---通项公式----的十种求法

一、公式法例1已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。二、累加法例2已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列{}na的通项公式为2nan。评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。例3已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn所以31.nnan评注：本题解题的关键是把递推关系式1231nnnaa转化为1231nnnaa，进而求出11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。例4已知数列{}na满足1132313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan因此11(13)2(1)2113133133223nnnnnann，则21133.322nnnan评注：本题解题的关键是把递推关系式13231nnnaa转化为111213333nnnnnaa，进而求出112232111122321()()()()333333333nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa，即得数列3nna的通项公式，最后再求数列{}na的通项公式。三、累乘法例5已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnn所以数列{}na的通项公式为(1)12325!.nnnnan评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana，进而求出13211221nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。例6（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列{}na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，，求{}na的通项公式。解：因为123123(1)(2)nnaaaanan①所以1123123(1)nnnaaaanana②用②式－①式得1.nnnaana则1(1)(2)nnanan故11(2)nnanna所以13222122![(1)43].2nnnnnaaanaannaaaaa③由123123(1)(2)nnaaaanan，21222naaa取得，则21aa，又知11a，则21a，代入③得!13452nnan。所以，{}na的通项公式为!.2nna评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)nnanan转化为11(2)nnanna，进而求出132122nnnnaaaaaaa，从而可得当2nna时，的表达式，最后再求出数列{}na的通项公式。四、待定系数法例7已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。解：设1152(5)nnnnaxax④将1235nnnaa代入④式，得12355225nnnnnaxax，等式两边消去2na，得135525nnnxx，两边除以5n，得352,1,xxx则代入④式得1152(5)nnnnaa⑤由1156510a及⑤式得50nna，则11525nnnnaa，则数列{5}nna是以1151a为首项，以2为公比的等比数列，则152nnna，故125nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式1235nnnaa转化为1152(5)nnnnaa，从而可知数列{5}nna是等比数列，进而求出数列{5}nna的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。例8已知数列{}na满足1135241nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解：设1123(2)nnnnaxyaxy⑥将13524nnnaa代入⑥式，得1352423(2)nnnnnaxyaxy整理得(52)24323nnxyxy。令52343xxyy，则52xy，代入⑥式得115223(522)nnnnaa⑦由11522112130a及⑦式，得5220nna，则115223522nnnnaa，故数列{522}nna是以1152211213a为首项，以3为公比的等比数列，因此1522133nnna，则1133522nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式13524nnnaa转化为115223(522)nnnnaa，从而可知数列{522}nna是等比数列，进而求出数列{522}nna的通项公式，最后再求数列{}na的通项公式。例9已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnaxnynzaxnynz⑧将212345nnaann代入⑧式，得2222345(1)(1)2()nnannxnynzaxnynz，则222(3)(24)(5)2222nnaxnxynxyzaxnynz等式两边消去2na，得22(3)(24)(5)222xnxynxyzxnynz，解方程组3224252xxxyyxyzz，则31018xyz，代入⑧式，得2213(1)10(1)182(31018)nnannann⑨由213110118131320a及⑨式，得2310180nann则2123(1)10(1)18231018nnannann，故数列2{31018}nann为以21311011813132a为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322nnann，则42231018nnann。评注：本题解题的关键是把递推关系式212345nnaann转化为2213(1)10(1)182(31018)nnannann，从而可知数列2{31018}nann是等比数列，进而求出数列2{31018}nann的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。五、对数变换法例10已知数列{}na满足5123nnnaa，17a，求数列{}na的通项公式。解：因为511237nnnaaa，，所以100nnaa，。在5123nnnaa式两边取常用对数得1lg5lglg3lg2nnaan⑩设1lg(1)5(lg)nnaxnyaxny○11将⑩式代入○11式，得5lglg3lg2(1)5(lg)nnanxnyaxny，两边消去5lgna并整理，得(lg3)lg255xnxyxny，则lg35lg25xxxyy，故lg34lg3lg2164xy代入○11式，得1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan○12由1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg1lg71041644164a及○12式，得lg3lg3lg2lg04164nan，则1lg3lg3lg2lg(1)41645lg3lg3lg2lg4164nnanan，所以数列lg3lg3lg2{lg}4164nan是以lg3lg3lg2lg74164为首项，以5为公比的等比数列，则1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)541644164nnan，因此1111111116164444111111161644441111111616444455514lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)54164464(lg7lg3lg3lg2)5lg3lg3lg2[lg(7332)]5lg(332)lg(7332)5lg(332)lg(733nnnnnnnnnnnnan1115116454151511642)lg(732)nnnnn则11541515164732nnnnna。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5123nnnaa转化为1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan，从而可知数列lg3lg3lg2{lg}4164nan是等比数列，进而求出数列lg3