二元一次不等式(组)与平面区域练习题含答案

1/7课时分层作业(二十)二元一次不等式(组)与平面区域(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知点P1(0，1)，P2(2，1)，P3(－1，2)，P4(3，3)，则在4x－5y＋1≤0表示的平面区域内的点的个数是()A．1B．2C．3D．4C[经验证，P1，P3，P4均在区域内．]2．原点(0，0)和点(1，1)在直线x＋y＝a的两侧，则a的取值范围是()A．a0或a2B．0a2C．a＝2或a＝0D．0≤a≤2B[直线方程为x＋y－a＝0，因为(0，0)和(1，1)在直线两侧，则(0＋0－a)(1＋1－a)0，∴a(a－2)0，∴0a2.]3．已知点(a，2a－1)，既在直线y＝3x－6的上方，又在y轴的右侧，则a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－∞，5)C．(0，2)D．(0，5)D[由题可得a0，2a－13a－6⇒0a5.]4．不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4，所表示的平面区域的面积等于()A．32B．23C．43D．34C[不等式组表示的平面区域如图所示．2/7交点A0，43，B(0，4)，C(1，1)，∴S△ABC＝12×4－43×1＝43.]5．若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是()A．a≥43B．0a≤1C．1≤a≤43D．0a≤1或a≥43D[先画出不含参数的不等式表示的平面区域，如图所示，要使不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，需使直线x＋y＝a在点A(1，0)的下方或在点B23，23的上方．当直线x＋y＝a过点A时，a＝1.当直线x＋y＝a过点B时，a＝43.又因为直线x＋y＝a必在原点O的上方，所以0a≤1或a≥43.]二、填空题6．表示如图阴影部分所示平面区域的不等式组是________．3/72x＋3y－12≤02x－3y－6≤03x＋2y－6≥0[由所给的图形容易知道，点(3，1)在相应的平面区域内，将点(3，1)的坐标分别代入3x＋2y－6、2x－3y－6、2x＋3y－12中，分别使得3x＋2y－60、2x－3y－60、2x＋3y－120，再注意到包括各边界，故图中阴影部分所示平面区域的不等式组是2x＋3y－12≤0，2x－3y－6≤0，3x＋2y－6≥0.]7．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有________个．6[由题意点(x，y)的坐标应满足x∈N，y∈N，x＋y≤2，由图可知整数点有(0，0)，(1，0)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，(1，1)，共6个．]8．若不等式组x≤0，y≥0，y－x≤2表示的平面区域为Ω，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y－a＝0扫过Ω中的那部分区域的面积为________．74[如图所示，Ω为△BOE所表示的区域，而动直线x＋y＝a扫过Ω中的那部分区域为四边形BOCD，而B(－2，0)，O(0，0)，C(0，1)，D－12，32，E(0，2)，△CDE为直角三角形，∴S四边形BOCD＝S△BOE－S△CDE＝12×2×2－12×1×12＝74.]三、解答题4/79．一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最低标准是240元，又知其他费用最少需支出180元，而每月可用来支配的资金为500元，这名新员工可以如何使用这些钱？请用不等式(组)表示出来，并画出对应的平面区域．[解]不妨设用餐费为x元，其他费用为y元，由题意知x不小于240，y不小于180，x与y的和不超过500，用不等式组表示就是x＋y≤500，x≥240，y≥180.对应的平面区域如图阴影部分所示．10．画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面区域．[解](x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0，等价于x＋2y＋1＞0，x－y＋4＜0，①或x＋2y＋1＜0，x－y＋4＞0，②则所求区域是①和②表示区域的并集．不等式x＋2y＋1＞0表示直线x＋2y＋1＝0右上方的点的集合，不等式x－y＋4＜0表示直线x－y＋4＝0左上方的点的集合．所以所求不等式表示区域如图所示．[能力提升练]1．设x，y满足约束条件3x＋2y－6≤0，x≥0，y≥0，则z＝x－y的取值范围是()5/7A．[－3，0]B．[－3，2]C．[0，2]D．[0，3]B[画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝x－z过点A(2，0)时，z取得最大值，即zmax＝2－0＝2；当直线y＝x－z过点B(0，3)时，z取得最小值，即zmin＝0－3＝－3.所以z＝x－y的取值范围是[－3，2]．故选B.]2．若不等式组x＋y－2≤0，x＋2y－2≥0，x－y＋2m≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m的值为()A．－3B．1C．43D．3B[作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2，0)，B(1－m，1＋m)，C2－4m3，2＋2m3，D(－2m，0)．S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝12|AD|·|yB－yC|＝12(2＋2m)1＋m－2＋2m3＝(1＋m)1＋m－23＝43，解得m＝1或m＝－3(舍去)．]6/73．不等式组x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________．4[画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易得B(2，0)，C(0，2)，D(4，0)．由x＋3y－2＝0，x＋2y－4＝0得A(8，－2)．所以S△ABC＝S△CBD＋S△ABD＝12×2×2＋12×2×2＝4.]4．已知D是由不等式组x－2y≥0，x＋3y≥0所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为________．π2[作出区域D及圆x2＋y2＝4如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α＋β所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别为12，－13即tanα＝12，tanβ＝13，tanθ＝tan(α＋β)＝12＋131－12×13＝1，所以θ＝π4，故弧长l＝θ·R＝π4×2＝π2.]5．设不等式组x－y＋8≥0，x＋y≥0，x≤4表示的平面区域是Q.(1)求Q的面积S；7/7(2)若点M(t，1)在平面区域Q内，求整数t的取值集合．[解](1)作出平面区域Q，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．由x＋y＝0，x＝4，解得A(4，－4)，由x－y＋8＝0，x＝4，解得B(4，12)，由x－y＋8＝0，x＋y＝0，解得C(－4，4)．于是可得|AB|＝16，AB边上的高d＝8.∴S＝12×16×8＝64.(2)由已知得t－1＋8≥0，t＋1≥0，t≤4，t∈Z，即t≥－7，t≥－1，t≤4，t∈Z，亦即－1≤t≤4，t∈Z，得t＝－1，0，1，2，3，4.故整数t的取值集合是{－1，0，1，2，3，4}．